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 qu'on le vent, de 



4.2.5...^/* Fzdz 



2ti / (z — x) (z — t/0 ... (z — t/p) (z — Xi) ... (z — JcJ ' 



Vi. 2/2» •••' .Vp étant des quanlités suffisamment voisines 

 de X. Or, la dernière intégrale, divisée par 2ni, est la 

 fonction interpolaire F (x, ?/,, ..., y^, Xj, ...,xj, et celle-ci, 

 d'après la formule (B) du n° % est égale à 



i.2 ... (p H- «)' 



f^ étant une valeur intermédiaire entre la plus grande 

 et la plus petite des valeurs x, z/^, 1/3, .. ?/,, ac^, Xj, ... , x^. 

 On a donc enfin, en faisant tendre î/j, y^, ... ^p vers x, 



pp(x)= ^— ' 



(pH- l)...(p-^ w) 



{ étant la limite de 4,. C'est la formule (C) du n° 5. 



IV. Formule de quadrature de Gauss. 



7. Lemme. Véquatîôn D" (x^ — 1)" = a n racines 

 réelles et inégalesj comprises entre — \ et -^ i {*). Les 

 dérivées successives de la fonction (px = (x^ — i)* 

 = (x— i)''(x + iy s'obtiennent par la formule de 

 Leibniz. On trouve 



y'x = (x— .t)".w(x-t- !)"-*-+- ?i(x — iy~' (x-f- 1)", 

 ^"x = (x— O^.wCw— i)(x-+-4r-'-+-2n(x— l)"-*.7i(x-+-i)''~* 

 -\-n{n — \)(x — i)'-'(xH-ir, 



(•) Théorème connu, dont nous rappelons ici la démonstration élémen- 

 taire, parce que Heine, dans le ffandbuch der Kugelfunctionen (Berlin, 

 Reimer), t. ï, 1878, pp. 47-48, en donne une beaucoup trop compliquée. 

 La lonciion fx, à un facteur consiant près, esl le polynôme X„ de 

 Legendre. 



