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et ainsi de suite. La fonction cp'x contient le facteur 

 (j;2 — l)-*; de plus, puisque (px s'annule pour 

 x== — l,x=-+-l, cp'a?, d'après le théorème de RoIIe, 

 s'annule pour une valeur intermédiaire ac,|. De même, 

 "x contient le facteur {x^ — i)"*; en outre, puisque 

 9'a; s'annule pour x = — l,jc = a?,, et3c = -+-l, (p"x 

 s'annule pour x = a:,2, valeur comprise entre — 1 et a:,,, 

 et pour x = X22, valeur comprise entre x^^ et a; = 1 . 



On prouve, de la même manière, que (^"'x est divisible 

 par (x2 — l)"-' {x — ar^s) {x — x^-,) (x — X33), x^j, X23, x^^ 

 étant compris, respectivement, entre — 1 et a;,^, X|2 et 

 0-22» a;22et-hi. De proche en proche, on arrive à ce 

 résultat : 9"x s'annule pour n valeurs réelles distinctes 

 xi, X2, ... , x„, comprises entre — et -1- i . Le premier 

 t(Tme deç^xa pour coetïicient 2/i {2w — 1)... (n-h 1); on 

 a donc 



fx = '2n(^n — i) ... (w -t- 1)(x — X,)... (x — xj. 



8. Formule de Gauss. La formule d'interpolation de 

 Newton, rappelée au n" 2, peut être écrite en abrégé, 

 comme il suit : 



Fx = Gx -*- (x — X,) (x — X2) ... (X — x„) P(x) , 

 Gx étant le polynôme entier 



A -4- B (x — X,) -4- C(x — X,) (x — X2) -+- .- 

 -t- L (x — Xt) (x — X2) ... (x — x„_|). 



Ce polynôme, comme on sait, est tel que Fx^^Gx^, 

 Fx2 = Gx2, ... , Fx. = Gx„. Évidemment f) 



f (Fx — Gx) dx ==y (x — xi) ... (x — x„) P(x) dx. 



(•) Si les limites de l'intégrale à calculer sont Xo et X et non — 1 et 

 -+- 1, on les y ramène en posant x = ^ (a?, -f- X) -f- ^ (X — Xq)u, 



