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Supposons maintenant que .x,, x^, ..., x^ soient les n 

 racines de9"x = 0. On aura alors 



f (Fx - Gx)dx = t — . 



Intégrons n fois par parties, en observant que les fonc- 

 tions 9'*~*ac, 9""'x, ... 9'x sont nulles pour ac = zb1. Il 



viendra 



1 ( \ Y i 



f [Yx - Qx) dx = , -; Tzr-ir- f fX P^x dx 



f\\ ^xyv\x)dx. 



(n-t- i)(?n-2).. 2ii 



Quand x varie de — \ à + 1, P-x reste compris entre 

 une valeur maxima P"(xm) et une valeur rainima P'*(xJ. 

 Donc, pour une valeur intermédiaire ^\^^^ on a 



/(Fx — Gx)rfx = ^ T}'^'^^ ^ f\\ - x')" dx. 



D'après la formule (C) du n' 5, 



F'"? 



P"(^A.) = 



{n-v- \) [n -f- 2)... 2;i' 



i étant une valeur intermédiaire entre — i et -h 1. D'ail- 

 leurs 



r',, , j 2 2.4.6 ...2n 



./. ^ ' fJTTT 1.3.5 ...(2n—1) 



Donc enfin, après quelques transformations, 



•/. ^^"^ ~ ^""^ ~ 2;riT \l.3.S...(2n - i)/ 1.2.3...2n' 



ce qui est la formule de Gauss, avec une forme finie du 

 reste. 



