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 Donc enfin, on pourra écrire 



/"X = Mi -4- Vi {X — X,) -*- Wz(x — Xi) (X — Xi) 



-+- s{x — Xi) {x — Xi) (x — Xj) . . . . (N) 



C'est la formule générale de Newton. Si fz est une 

 fonction entière a -h bz -h cz^ -+- kz^, K = s est égal à k 

 et est indépendant de ac/|, acj, Xj, x et, par suite, on peut 

 remplacer dans la formule (1) oc par z. Les coefficients 

 v^, lOs, s sont, d'après leur loi de formation, les fonctions 

 interpolaires 



f{Xi , X2) , f(xi. Xi, X3), f{Xi , X5, X3, x) (*). 



Considérons maintenant la fonction 



Fz = fz — [«1 -h «2 {z — Xi) -+- Wz(z — Xil(z — Xi) 

 -+- s(z — X,) (z — X2) (z — X3)]. 



Elle s'annule pour z==x-,, z = 0^2, z = acj, z = x. Par 

 suite, ¥'x s'annule pour les valeurs x,2, X23, X34 intermé- 

 diaires, respectivement, entre x^ et x^, x^ et xj, Xj et x; 

 puis, F"x s'annule pour les valeurs Xjas, X234 intermé- 

 diaires entre x,2 et X23, X23 et X34; enfin F"'x s'annule 

 pour une valeur | intermédiaire entre Xi23 et X234 et, par 

 conséquent, comprise entre la plus grande x^ et la plus 

 petite x„ des valeurs x^, Xg, X3, x. Mais 



r"z^f"'z — i.±Z.s. 

 On a donc 



/*'"S— .i.2.3.s = 0, 



(') En pratique, le calcul en est très rapide, comme on peut s'en 

 assurer sur des exemples, et, à cause de cela, la formule (l)oùxest 

 remplacé par z est d'un usage plus facile que la formule équivalente de 

 Lagrange : 



{z-x^){z-x^)(z-x) ^ {z-x^){z-x;^{z-x^) ^ 



~" (X»- x») (Xj - X,) (Xt - X) "* "* ^ (X - Xj) (X— X,) (x-x,) 



