SÉANCE DU 2 JANVIER 1906. 23 



la théorie générale, elle sera 3C puisque M est 30; les coordonnées com- 

 plémentaires de M étunlpx, et qx.,, celles de la congruence seront dX,, 

 (7X2 ; cette congruence rentre donc bien dans le type des congruences qui 

 viennent d'être définies (§ 1). 



Soit H la congruence ainsi définie, par la droite H menons le second plan 

 tangent à la quadriqije; si M' est le point de contact. M' décrit un réseau, 

 qui, étant harmonique à une congruence O, est C. Si la congruence H se 

 déplace parallèlement à elle-même, le point M' se déplace sur une conique. 

 En invoquant maintenant la loi de parallélisme des éléments on peut 

 énoncer le résultat suivant : 



Il y a co' réseaux N qui sont C et parallèles à un réseau de la quadrique Q, 

 harmoniques à chacune des congruences H qui ont été définies § 1. 



3. Si l'on connaît seulement un tel réseau N, il faudra résoudre une 

 équation de Riccati pour en déduire une déformée de la quadrique; ce qui, 

 pratiquement, ne permettrait pas de suivre analytiquement celte transfor- 

 mation que j'ai indiquée en 189^. Je vais montrer comment on peut lever 

 la difficulté. 



Tout d'abord la congruence H étant homographique à une con- 

 gruence G (§ 1), les réseaux N sont homographiques à des réseaux O, har- 

 moniques à G. Les points qui décrivent ces réseaux sont situés sur un 

 cercle dont l'axe est G. A une quadrature près, la recherche de la déformée 

 de la quadrique revient à celle du réseau O de l'espace à cinq dimensions 

 qui est applicable sur un réseau O harmonique à G. C'est cette transforma- 

 tion que je vais étudier. 



4. Transformation du problème. — Je prends, comme point de départ, 

 les fonctions Y et X qui ont été définies dans ma Note du 4 décembre (§ 5). 

 Je pose ensuite 



(5) x; = x3, x; = vn-/''x,, x; = v'i + 9=x„ 



puis 



(6) x: = i(X;+X; + X;-i), x;= i(X^ + X; + X; + i> 

 On aura alors 



s 5 ô 5 



(7) 2YÏ = 2^Ï = « ^^ ^dY]=^aXl 



