36 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour généraliser le ihéorème de Mirinianov, j'envisage un module quel- 

 conque m, puis l'entier positif a premier avec m, et j'observe que l'on a 

 identiquement 



, — ai — 



— 2 ^ r^F\~ (modm), 



v = 1 



a — m\ — 



l'exposant d étant un diviseur de ^(wï) tel que 



rt''^ I (mod m'). 



Posant de = v^irn), on aura, en effet, 



y(«,»')== ===e (mod m), 



et il s'ensuit 



P parcourant les restes des différentes puissances de a, et les a. étant déter- 

 minés par la condition 



m« + fi^o (mod a), o5a<^«. 



Mais la formule de Mirimanov ne possède le type des théorèmes de Syl- 

 vester que dans les cas particuliers. Afin de restituer les théorèmes du 

 savant anglais, j'ai établi la congruence 



(2) ?'''"'--2;;^{^ (mod m), 



av \ m 



V parcourant les ^^{ni) nombres premiers avec m et plus petits que m. Cette 

 congruence se vérifie en développant le premier membre de l'équation 

 identique 



nh-"(ïï)l=n- 



La formule (2) rend les mêmes services, et est peut-être plus commode 

 que les formules de Sylvester, mais elle permet aussi d'établir ces dernières 

 rectifiées. Les formules en question s'écrivent 



(3) ./v'O^^T^-IIt [rnoAm), 



