SÉANCE DU l5 JANVIER 190G. 137 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales infiniment voisines des équations 

 aux dérivées partielles. Noie de M. E. Gouusat. 



1. Quand on cherche à étendre aux équations aux dérivées partielles 

 les théorèmes établis par M. Poincaré pour les équations différentielles 

 ordinaires (Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. 1, Chap. II), on 

 est arrêté tout d'abord par des dilficultés tenant à ce que les coefficients des 

 séries que l'on veut obtenir sont déterminés par des équations linéaires 

 aux dérivées jjartielles et non par des équations différentielles linéaires à 

 une seule variable indépendante. Mais les plus grosses difficultés dispa- 

 raissent si les intégrales supposées connues, qui correspondent à des valeurs 

 nulles des paramètres, sont rapportées à leurs lignes caractéristiques. En 

 supposant remplie cette condition, on obtient des propositions analogues 

 aux théorèmes de M. Poincaré, que j'énoncerai en me bornant d'abord aux 

 fonctions analytiques. 



2. Soit 



(0 ^ = f\-2^.7,.v,,...,y,„-,7,.'/.. «z,,)^). '7/=j^ 



une équation aux dérivées partielles où j?, j,, j^ y„ sont des variables 



indépendantes et X un paramètre variable. On suppose que le second 

 membre de cette équation peut être développé en série entière, ordonnée 

 suivant les puissances de z, q,, q.,, . . ., q„, a, dont les coefficients sont des 

 fonctions holomorphes des variables x,y,, y.^, . . .,y„, lorsque ces variables 

 décrivent respectivement dans leurs plans des domaines connexes D,.,. 

 D,_, ..., D,^; de plus cette série est convergente, quelles que soient les 

 valeurs de x,y,,y.,, ..., y,^ dans ces domaines, pourvu que les modules 

 de z, q^,q^, ..., q^, 1 ne dépassent pas un nombre positif r, ; elle ne ren- 

 ferme aucun terme indépendant de z, q,, q.^, ..., q,„ 'k, et les termes du 

 premier degré ne renferment que z et 1. On peut alors se proposer de 

 développer suivant les puissances de 1 l'intégrale de l'équation (i) qui 

 s'annuje pour x := o, quelles que soient les valeurs de >', , y.,^ • • •. ,V'n> ^»- 

 et l'on trouve une série 



(2) z = (f,l-h 'ù..l--h...-h ^«/."-H..., 



satisfaisant formellement à l'équation (i), et dont tous les coefficients ^ont 



C. R., 1906, 1" Semestre. (T. CXLII, N" 3.) ^9 



