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des fonctions holomorphes des variables ,r, y,,}'-,, ■■ -, .)'„, dans les domaines 

 considérés, pourvu que Dj^. soit simplement connexe. La convergence de ce 

 développement résulte de In proposition suivante : 



.1 tout système de domaines D',,, D,'_, . . . , D^ , intérieurs respectivement aiuv 

 domaines Dj., D,_, .... D, , on peut faire correspondre un nombre positif r, 

 tel que l'intégrale en question soit une fonction holotnorplie des variables v, 

 j',, y.;,, . . ., y„, )., lorsque les variables x, y,, y.,, . . ., .)'„ décrivent respective- 

 ment les domaines D^., D,' , . . ., D^^, pourvu que le module de 1 reste inférieur 

 à 7). 



Le théorème s'étend aussi aux systèmes d'équations simultanées du pre- 

 mier ordre et, au lieu il'un seul paramètre, on pourrait en supposer un 

 nombre quelconque. 



3. Considérons encore une équation aux dérivées partielles du secon.l 

 ordre 



(3) s = ¥(x,y,z,p,q,r,t,A) 



à deux variables indépendantes, dont le second membre peut être déve- 

 loppé en série entière ordonnée suivant les puissances de :■, p, q, r, t, a, 

 dont les coefficients sont des fonctions holomorphes des deux variables x 

 et y lorsque ces variables décrivent respectivement dans leurs plans des 

 domaines simplement connexes D^. et D,. Cette série est convergente, 

 quelles que soient les valeurs de x et de j" dans ces deux domaines, pourvu 

 que les modules de :■, p, q, r, t, 1 ne dépassent pas certaines limites, et elle 

 ne renferme aucun terme indépendant ni aucun terme du premier degré 

 en r et t, de façon que les droites x = C, y = C' forment les deux systèmes 

 de caractéristiques de l'intégrale particulière 2 = 0, qui correspond à la 

 valeur >. = o du paramètre. Dans ces conditions, on peut se proposer de 

 développer suivant les puissances de \ l'intégrale de l'équation (3) qui se 

 réduit à zéro pour x = o, quels que soient y et 1, et qui est nulle aussi 

 pour r=o, quels que soient x et X; on obtient un développement qui 

 satisfait formellement à l'équation (3) et dont tous les coefficients sont des 

 fonctions holomorphes de x et de r, lorsque ces variables décrivent res- 

 pectivement les domaines D^., D^. La convergence de ce développement 

 résulte encore de la proposition suivante : 



Soient D^, et D^. deux domaines intérieurs respectivement à D^, et à D, ; on 

 jieut leur faire correspondre un nombre positif -r tel que r intégrale précédente 

 soit une fonction holomorphe de x, y, a, lorsque les variables x et y décrivent 

 respectivement les domaines D^, D^, pourvu que \ a | soit inférieur à ■^. 



