SÉANCE DU l5 JANVIKR 1906. I?c) 



I,a démonstration de ces ihéorèmes et d'antres plus généraux sera déve- 

 loppée dans un Mémoire plus étendu. 



GÉOMÉTRIK INFINITÉSIMALE. — Sur une famille de réseaux conjugués 

 à une même congruence. Note de M. E. Meulix. 



Considérons, dans l'espace à n dimensions, deux réseaux tels que, aux 

 points correspondants A et B, les tangentes aux courbes correspondantes 

 se coupent en deux points variables P et Q. On peut choisir les coordon- 

 nées homogènes a?, et v, de A et B, de manière que l'on ait ( ' ) 



. ùy, , i).f, ()y, , dxi . ■ 



^ ■' Oit ou ày OS' ■' 



Il existe une ce' de réseaux conjugués à la congruence des droites A et B 

 et tels que, en un des points C(-,) d'intersection avec AB, le plan tangent 

 à l'un quelconque des réseaux passe par PQ. On a en effet 



;;,=: JK, -+- >.J",, Â = constante. 



Nous nous sommes proposé de chercher combien, parmi les réseaux de 

 la famille considérée, il peut y en avoir à invariants égaux. Nous ne parle- 

 rons pas des cas évidents où les droites AB sont concourantes, ou engen- 

 drent une congruence dont les deux nappes focales se réduisent à dis 

 lignes. 



A. — I^e lieu des arêtes tie rebroussement des développabies u = const., 

 par exemple, se réduit seul à une ligne. Trois cas peuvent seulement se 

 présenter : 



i" Tous les réseaux sont à invariants égaux. — Ils sont formés par des 

 courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits. 



2" Le réseau (A), par exemple, est seul à invariants égaux. — (A) est 

 formé de courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits. Sur les 

 autres réseaux, les lignes u = const. sont des courbes de contact de cônes 

 ou de cylindres circonscrits et, le long des lignes r = const., les plans 

 osculateurs aux lignes u = const. passent par un point fixe. 



3° Aucun réseau n'est à invariants égaux. 



B. — Aucune nappe focale ne se réduit à une ligne. En général, les fa- 



('). Voir G. Dahbolx, Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. Il, p. 228. 



