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milles considérées ne possèdent pas de réseaux à invariants égaux. Elles 

 peuvent toutefois en posséder un , deux, trois, quatreoucinq. S'ilen existe cinq, 

 tous les réseaux de la famdle sont à invariants égaux. 



Indiquons les résultais que nous avons obtenus quand un ou plusieurs 

 réseaux sont à invariants égaux. 



1° Un réseau (A), par exemple, est à invariants égaux. — On choisit (A) ; 

 le problème s'achève par quadratures, si l'on connaît /< et/, tlont les valeurs 

 les plus générales dépendent de l'intégration de l'équation de Laplace rela- 

 tive à (A). 



2° Deux réseaux au moins, (A) et (B) par exemple, sont à invariants 

 égaux. Posons 



0, désignant une solution quelconque de l'équation 



^~^ ô dtidv ë"? du Ov 



On aura, pour déterminer y,- à l'aide de (i), 



h = U(M).c•/-^ / = ¥((•). ez-?, 



y et <p sont des fonctions convenablement choisies. On doit distinguer 

 trois cas : 



a. U(») = H, y {v) = ('. — Soit r^{u, v) la solution la plus générale de 



l'équation E( > ) = o, dont dépend la détermination des surfaces 



qui admettent pour représentation sphérique de leurs lignes de courbure 

 deux systèmes de coniques homofocales ( '), <p et / seront définies par les 

 formules 



' au ôf 



^^ à--{it-, i-) 1 dr.{u^, ('-) Il ()'-T.{u-, c-) i <)-{ti-, i'-) 



'- u àii i)i' Il i)u r ôii (){ 



f 



Pour achever le problème à l'aide de quadratures, il restera à intégrer 

 l'équation (a), où tp a la valeur précédente. 

 b. l](u) = u, Y(v) = t. — On trouve 



(3) <p = %■)((') ". + V)'(u), y = \'>(v) ' + uv'(u) — v(u 



\'u- — I ' ^ \^/it- — 1 



). 



( ') Voir G. Darboux, Leçons sur la théorie générale des sur/aces, l. Il, p. 70. 



