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fonctions sphériques l'identité suivante à la surface de la sphère 



's 



(3) -y^ = —- — / f) \^ds + / I 



ds 



en désignant par v la normale intérieure de l'élément ds. 



Ce lemme permet de démontrer un théorème important pour la théorie 

 de l'élasticilé : 



Soit 6 une fonction donnée, définie en tout point d'une surface fermée o> 

 possédant en chacun de ses points un plan langent unique et deux rayons 

 de courbure principaux bien déterminés. Supposons que la fonction soit 

 uniforme et continue sur co de la manière exprimée par la condition (i). 

 Formons le potentiel 



(4) ^'=/4 



du volume intérieur en désignant par (i la solution du problème de Diri- 

 chlet pour l'intérieur de w, qui prend les valeurs limites à la surface oj. 

 Alors on aura, en posant 



(5) .i. = 6- ' '^'^ 



d''- 



l'inégalité suivante pour deux points i et 2 de la surface o dont la dis- 

 tance est désignée par r,o : 



(6) 1^.-^, 



\<\''^-^ 



— max. abs.6 )r^„ 



Ega y <- 



[o<r,,-^(i -S)]. 



Dans cette inégalité S représente un nombre aussi petit que l'on veut, 

 c une constante finie, sg et e^ des constantes finies aussi longtemps que S et u 

 sont différents de zéro, mais convergeant respectivement avec S et t vers 

 zéro. 



On peut se servir de ce théorème pour arriver à une solution générale 

 du problème d'équilibre dans la théorie de l'élasticité. 



