202 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La sphère S est donc 31; les coordonnées complémentaires Z, et Zo sont 



(7) 



:/.X, 



' +yo'-y 



7.,=ci\,+ 



P - , - (j 



Le point I étant toujours sur la focale, on a aussi 



(S) 



l/(X) = X;+\^ + X 



^.[v 



l(i+/r)-iX, 





[A( 



i + r) — rX,4-- 



Àl't+ r/-);. 



v/).(H-r/-^) — I 

 en supposant que \ soit racine de l'équation 



(9) T7— rrf. r;:+ ^,, . ' ;, i:;-+-i 



.'.V 



1 



I \, 



X(i 





L'équation (9) admet toujours les racines X = 1 ; elle admet, en général, 

 une autre racine distincte de o ou de i; c'est cette racine qui figure dans 

 l'équation (8); il en résulte que la sphère S décrit un système 4I. les coor- 

 données complémentaires T,, T,, T^ ayant les valeurs suivantes : 



(10) 



T, = s/>-(i+/'=)-iX, 







ç.. 



2. Cercles conjugués. — Soit 9 une solution quelconque de l'equalion de 



Laplace à laquelle satisfont les fonctions X et Y. Le point de l'espace à 



Y 

 cinq dimensions, qui a pour coordonnées —i décrit un réseau; il v corres- 

 pond un système de cercles (C) conjugué aux sphères (S). Le cercle C 

 passe par les points F, I', où la sphère S touche son enveloppe: si, de plus, 

 6 est une fonction linéaire de X,, Xo, X3, l'axe du cercle C est la droite du 

 plan tangent en M' qui correspond, par roulement de Q sur Q', à la droite 

 d'intersection du plan tangerit en M avec le pian dont l'équation est 6 = o. 

 Nous allons donner des exemples : 



1° 6^Z,-(-(Z2. — Le système de cercles C est O; il est en général 31, le réseau — 



de l'espace à cinq dimensions élaiit applicable sui- le réseau — - de l'espace à trois; il 

 pourra se produire une réduction si est une combinaison homogène de Xj et de X2. 



