268 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ a, h. A, B, C sont des fonctions analytiques de x. A', B , C sont les 

 dérivées de A, B, C par rapport à x. 



Une telle équation peut se ramener par une substitution 



y = l(a;)Y +(j.(a;), X = (p(a;). 



Si A ^o, à la forme 



Y"=Y'(a,Y + Z>0 + Y'^ 



X, \j., o s'obtenant par trois quadratures. 

 Si A ^ o, à la forme 



Y"=Y'(a.Y + i,) + (2-a,)Y'~^Y^ + ê'.(^)(Y'-Y^f, 



(A s'obtenant par une équation de Riccati, >, et ç par deux quadratures. 



I.a transformation algébrique Y' ^ Y- m" ou Y' — Y" = Y'm-, suivant que 

 l'on est dans le premier cas ou dans le second, conduit à une équation en u 

 du second ordre, du premier degré en ii!' et rationnelle en m' et m; en se 

 reportant aux résultats de M. Painlevé, on reconnaît que l'équation en Y 

 coïncide nécessairement avec l'un des types suivants, dont l'intégrale est 

 d'ailleurs uniforme : fraction rationnelle en X ou en e'"^ ou fonction ellip- 

 tique de X, 



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Y"=GYY'— 4Y' + A(Y'— Y-)', A constante, 

 Y"=2YY'+ -^4=(Y'— Y^)^ « entier >], 



\//2^ I 



Y"= 2Y»— 2î(Y'- Y^)% 



Y"= - 4 YY' -f- 6 Y' + 4^(Y' - X-f, 



Y"= - 8YY'+ loY^ + iV^CY'— Y^f , 

 Y" = — 2YY'4-4Y'+ ^(Y'-Y-)-, 



On sait reconnaître à l'avance sur l'équation donnée, au moyen de rela- 

 tions algébriques entre les coefficients, si la réduction à l'une de ces formes 

 est possible et alors \, a, <p s'obtiennent : 



Dans le premier cas par trois quadratures; 



Dans le second, ;;. par une équation de Riccati irréductible et à et cp par 

 deux quadratures; 



