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2. L'inégalité bien connue de M. Schwarz fait facilement voir qu'il existe 

 une limite finie supérieure et une limite finie inférieure des valeurs que 

 peut prendre l'intégrale !(«/) ('). 



Désignons par Tyf) ^"^e de ces limites. 



Choisissons une série infinie de fonctions conlinues ",(^), u.^{s), 

 H:,(s), ... vérifiant l'égalité (i) et telles (jue 



Uml(u„) = T^ 



(nous supposons ici que a'' soit finie). 



Lemaie. — Siipiiosons que ni(i), iV2(i'), ... soil une série de fouclions conlinues 

 qui vérifient les condltii)ns 



(2) 



\ / lln{s)iy„{s)ds = (« =r I, 2, 3, . . .), 



y " 

 i ,/' 



f / »■„ (s)- f/i' < I> où L est une constante positive.- 



Alors nous avons 

 l'osons 



j f K{s, t)ii„{.s)n„(l) 



cls cil = O. 



u;,{s) — v„(s) — ii„{s) j ii„{t) v„(l)d/, 

 En portant cette expression de n\,{s) dans (3), nous trouvons facilement 



(4) 



.1 - -,/■ 



I i m / .■„(/) / //„ (.s) K(s, t) ds — ^ "„ 



(0 



d( = o. 



r'' 

 Considérons l'intégrale / M„(*)K(5,/)r/^.D'après l'inégalité deM. Schwarz 



elle reste comprise entre deux valeurs réelles indépendantes de n et de /. 

 Alors nous pouvons supposer que les fonctions u, (s), ii.,(s), . . . sont telles 

 que cette intégrale a une limite déterminée pour chaque valeur rationnelle 



(') Nous supposons ici que K{.ï, t) [et ii{s)] sont des fonctions continues; mais la 

 méthode reste applicable si K(.ç, t) admet des singularités sous certaines conditions 

 qui impliquent les singularités traitées par M. Hilbert. 



