SÉANCE DU 5 FÉVRIER 1906. 333 



(le /. Car d'après le beau procédé publié par M. Hilbert dans \e Festschrifl , 

 nous pouvons, parmi les fonctions de celle série, choisir une série partielle 

 qui jouit de celte propriété. 



L'expression "^'"(O^ a'' lini / u„{s) 1\(,«, t)ds représente alors une fonc- 



;j = 00 1/ rt 



lion uniforme pour les valeurs rationnelles de /. L'inégalité facilement 

 obtenue 



r'' 

 |6"(/)-'y"(0]'<^'"' / |lv(^,/')-K(.«, /)p^/.v 



fait ensuite voir quei'''(/) est uniforme el continue pour toutes les valeurs 

 de /. 



Posons maintenant, dans la formule (4 ), ('«(0 = ^^C-^' 0- 



Nous trouvons l'équation 



{5) A'')(5) = l" / K(,v, /) J/"'(/)f//. 



*^ Il 



-.1 

 Puis posons dans (4) r„(/)= ^ ujs) [\{s, l)ds. Nous trouvons alors 



^ 



(G) /"'j;<"(/)^/.v = i; 



à l'aide des équations (5) et (6) nous déduisons enfin T(A<")= rj^ , ce qui 



fait voir que ^'''(^) est une solution de la question proposée. C'est une des 

 fonctions fondamentales {Eigenfunction) de M. Hilbert. 



Pons démontrer l'existence des autres fonctions fondamentales et éven- 

 tuellement des autres solutions du problème, on modifie le problème de la 

 manière indiquée dans le travail de M. Hilbert et, en appliquant notre mé- 

 thode, on arrive à prouver l'existence d'un système complet de ces fonctions. 

 Puis on démontre facilement le résultat sur le développement de l'inté- 

 grale f f K(s,e)u(s)u{t)chdl servant de base à la théorie générale de 

 M. Hilbert. 



