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r étant une constanle finie, V un nombre positif quelconque satisfaisant a 

 la condition o < A < i, tous les deux indépendants dey. L'équation (9) et 

 le théorème énoncé dans une Note récente (voir Comptes rendus du 2'. jan- 

 vier 1906, p. 199) concernant l'expression 



^.--.- 





permettent de démontrer dans toute l'étendue du domaine -: les relations 



vJ max. abs. 0, ::;const. fin. y/. 



•^"^ I /ylO,, — 0,,,1 =const. fin. ;./>■;, \o^_r,,^<s(x - ly], 



où S représente un nombre que l'on peut choisir aussi petit que l'on veut, 

 ly. un nombre satisfaisant à la condition o < ;y. < i . On parvient ainsi à 

 démontrer rigoureusement la convergence de la série 



(12) '^=2>'-'0y (-'<''-< + 



et sa continuité de la manière suivante : 



(i3) If), — 0, : =const. fin. r^,, (o ,=;/■, 2?-^',) - W <"-') 



d'où découle facilement la convergence et la continuité des fonctions a, 

 V, (V et de leurs dérivées premières. 



Après cette démonstration on peut faire voir que les développements de 

 Lauricella sont convergents pour 



- I < /• < -f- I , 

 ceux de MM. E. et F. Cosserat pour 



Les développements ((j) sont les plus généraux; ils comprennent l'inter- 

 valle entier 



— I </.<-+- I (— 1 < /■ < -^ x) 



dans lequel le problème a une solution unique. 



