SÉANCE DU 12 FÉVRIER 1906. 387 



avec 



X 4-7 + r + / 4- M = O, 



et supposons que le plan 



kx-k- Bj-l- C- + D^ 4- Eu = o 



coupe la surface suivant deux coniques dont l'une rencontre par exemple 

 les droites {xy), (73), (s/), (m), {ax). On en déduit les relations : 



a-=(B-E)(C-D), 

 6^ = (C-A)(D-E), 



» 



e- = (A-D)(B -C) 



et, par suite, la condition algébrique indécomposable 



(i) ia« — irt*6^+2ia-Pc= = o. 



On peut dire également que les paramètres a^, 6% . . ., e- sont racines 

 d'une équation du cinquième degré de la forme 



X^* + mX^ + rtX^ + ^(4« - rrr)y^^ -^ pX + q = o. 



Ce hessien ne dépend donc que de trois paramètres au point de vue 

 projectif et la surface hyperelliptique définie plus haut, qui dépend de 

 trois modules, peut lui être identifiée. D'oi^i ce théorème : 



Si le hessien d'une surface cubique possède une conique, il en possède onze 

 autres et il est hyperelliptique. 



Ces douze coniques forment deux groupes C,, C,, ..., Ce et C, , 

 Cl, ... , C,., les coniques C,, C^. étant dans un même plan. Les coniques C,-, 

 Ca ne se rencontrent pas; les coniques C,, C^ se coupent en deux points et 

 sont situées sur un cône du second degré tangent au hessien le long de 

 deux droites. 



La surface possède également deux groupes de six cubiques gauches F,, 

 r'. transformées respectivement des coniques C,, C- par la transformation 



qirationnelle x: y.z-.t, ^ : ^ : ^ : -7- Les cubiques T,, T^ sont situées 



i - j- y -. t, 



sur un cône du second degré qui coupe en outre le hessien suivant deux 

 droites. La conique C, et la cubique T^ sont sur une quadrique qui coupe 

 en outre le hessien suivant trois droites. 



