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Il faut V joindre, comme condilions A'étal initial, que, pour ^ = o, ç, r,, 'Ç 



el •'/" se réduisent à six fonctions de x, y, z, nulles hors de lu petite 

 dt 



sphère d'ébranlement, mais données arbitrairement dans cette sphère, sauf 

 les condilions de continuité en x, y, z nécessaires, même à l'instant ; = o, 

 pour que les équations (i) aient un sens. 



Les trois inconnues ne sont pas séparées dans le système (i). Mais si l'on 

 peut déterminer préalablement la dilatation cubique 6, les seconds membres 

 de (i) deviendront des fonctions explicites de x, y, z, t; et l'on aura, pour 

 chaque déplacement H, r,, C une équation linéaire à second membre, dont 

 l'intégrale générale comprendra, avec une intégrale particulière, l'inté- 

 grale générale de la même équation prise sans second membre ou, dès 

 lors, identique à l'équation du son qu'on sait intégrer. 



III. Or, les équations (i), différentiées en x, y, z et ajoutées, donnent, 

 comnxe on sait, 



(2) _ = A-A,e. 



D'ailleurs, les valeurs initiales de H et de sa dérivée première en /, nulles 

 hors de la sphère d'ébranlement, sont, dans celte sphère, deux fonctions 

 connues, fÇx, y, z), F(x, y, s), sommes des dérivées res|)ectives enx-, y, z 

 des trois déplacements initiaux donnés ç„, y,„, "Co et des trois vitesses ini- 

 tiales analogues, également données. L'expression de h, que nous écrirons 

 explicitement ^(^x,y,z,t'), sera donc, d'après l'intégrale classique de 

 Poisson, écrite en employant la notation simple des potentiels sphériques, 



(3) dix y -. l)~^'± r nx,,y„z^ jh _^ r¥U,.y,,z,)jh_ 



c y désigne la surface, 4"^^ ou 4~A.-/^, de la sphère, d'un rayon /• égal à A<, 

 décrite autour du point quelconque {x,y, z) comme centre; da est un 



quelconque de ses éléments, à coordonnées (x,, y,, z,); et / désigne des 



intégrales étendues à toute la sphère, mais réductibles, grâce aux fonc- 

 tions /(x,,yf, z,), F(a-,, j,, :;,), à leurs éléments concernant les parties 

 de la sphère situées dans la région des ébranlements. 



Il en résulte, comme on sait, que l'onde constituée par les dilatations 

 cubiques s'étend, à l'époque t, sur l'épaisseur 2 1, aux distances R de l'ori- 

 gine comprises entre At — i el At -\- i, se propageant ainsi avec la vitesse A. 



W. Pour les points (ir, r, z) situés, sur un même rayon l'ecteur, à des 



