SÉANCE DU 26 FKVRIER I906. /199 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur F indétermination d'une fonction d'une 

 variable au voisinage d'une singularité transcendante. Note de M. Piekke 

 BouTKOUx, présentée par M. H. Poincaré. 



On sait qu'au voisinage d'un point singulier transcendant, une fonction 

 y de .0? peut, soit rester déterminée, soit être complètement indéterminée, 

 soit être incomplètement indéterminée, c'est-à-dire tendre vers l'ensemble 

 des valeurs contenues dans certaines régions du plan des y. 



Considérons une fonction j'(x), algébroïdeà l'intérieur d'un certain con- 

 tour convexe C, et soit ce, un point singulier de la fonction (isolé ou non) 

 situé sur le contour C. Pouvons-nous dire quelle indétermination la fonction 

 sera susceptible de présenter lorsque x tendra vers x, sur un chemin 

 quelconque intérieure à C? 



1° Soit la fonction j'(a;) uniforme (méromorphe) à l'intérieur de C. Si 

 y(x') devient indéterminée lorsque x tend vers ,r, sur un chemin intérieur à C, 

 cette fonction prend, au voisinage de x, , taules les valeurs possibles, sauf deux 

 au plus. 



En effet, on peul montrer ([u'il existe au moins un serment de droite intérieur à C, 

 et aboutissant en ^, sur lequel y devient indéterminée. Supposons que, sur ce segment, 

 rÇr) ne prenne pas la valeur 00, mais prenne des valeurs arbitrairement grandes. 

 Puisque y (■') y est indéterminée, on peut trouver, sur le segment considéré, des points 

 X, arbitrairement voisins de a,, jouissant des propriétés suivantes : au point. ^-jj' prend 

 une valeur a telle que \a\ <. /i, h restant fixe lorsque a; tend vers j^^ ; d'autre part, sur 

 le segment r.r^, ou sur une fraction finie de ce segment (par exemple les |), j'{jr) prend 

 des valeurs arbitrairement grandes. 



Soient alors o et i deux nombres quelconques. Je dis qu'au voisinage de .?■,, y{x) 

 devient nécessairement égale soit à o, soit à i . En effet, après avoir fait au besoin un 

 changement de variable, nous pouvons supposer que le contour C tourne sa convexité 

 du côté oii la fonction y est définie. Considérons alors un cercle y ayant pour centre 

 un point x et passant par .r, : y{x) est holomorphe dans ce cercle, et il en résulte (') 

 que, si y ne prenait pas dans •( les valeurs o et i, son module resterait (dans un cercle 

 concentrique à y et de rayon égal à | xx^) inférieur à une fonction Unie de a, ce qui 

 n'a pas lieu. 



On observera que, étant donné que nous ne considérons la fonction v(.r) 



C) J'ai énoncé dans les Comptes rendus (3i juillet 1900) cette proposition, qui 

 avait été obtenue par M. Schottky sous une forme un peu différente. 



