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qu'à l'intérieur d'un contour, un point singulier essentiel ne sera pas néces- 

 sairement, à notre point de vue, point d'indétermination. 



2° Soit maintenant y(.T) algébroïde à l'intérieur du contour convexe c, 

 mais non sur ce contour lui-même. Etudions y à l'intérieur d'un contour c 

 intérieur à C, et faisons tendre c vers C. Dans ces conditions, ou bien le 

 nombre des déterminations de j (a?) reste inférieur à un nombre fixe; ou 

 bien ce nombre augmente indéfiniment. 



Le premier cas se ramène au cas de l'uniformité. Dans le second cas, 

 les branches de y{x) convergent vers une ou plusieurs fonctions- 

 limitesY (') qui ne peuvent admettre pour singularités que les points- 

 limites des singularités de j(a;). D'ailleurs, si un ensemble de branches 

 àe y converge vers une fonction Y le long d'un arc /, ces courbes ne cesse- 

 ront pas de converger vers Y lorsqu'on prolongera l'arc /, pourvu que l'on 

 ne rencontre aucun point-limite des singularités de j'. On en conclut que 

 la fonction j'(j) ne saurait tendre vers les points d'une région du plan 

 des y, lorsque .2' tend vers le contour C, qu'au cas oi\ l'ensemble des fonc- 

 tions-limites Y(.r) tend vers les points de la même région. Ceci nous 

 conduit aux énoncés suivants : 



Premier cas: Supposons que les fonctions limites de la fonction multiforme /(a' ) 

 aient un nombre fini /> de branches à l'intérieur du contour C;y(,r) «e ja«ra/<o?e('ert?> 

 indélei minée lorsque Von tend vers un point /la contour C à moins de devenir com- 

 plètement indéterminée. 



Si les fonctions limites ont un nomlire infini de branches, mais admettent elles- 

 mêmes des fonctions limites qui n'ont qu'un nombre fini de branches, on a encore la 

 même proposition; et ainsi de suite. 



Deuxième cas : Supposons que les fonctions limites de la fonction multiforme définie 

 à l'intérieur du contour C, et, par suite, celte fonction elle-même, soient complète- 

 ment indéterminées en un point x^ intérieur à C ; en ce cas, la fonction y est com- 

 plètement indéterminée en tout point intérieur ci C. 



Troisième cas : Supposons que les fonctions limites dey( j,) présentent, en un point œ^ 

 intérieur à C, une indétermination incomplète : en ce cas, la fonction y présentera 

 une indétermination incomplète en tout point intérieur « G. 



De l'examen de ces trois cas résulte la proposition suivante : 

 Soit une fonclion multiforme définie à i intérieur d'un contour C, où elle est 

 algébroïde, et soit x^ un point intérieur à C. Si la fonction ne présente aucune 



(') J'ai indiqué quelques résultats relatifs à ces fonctions dans un Mémoire pui)iié 

 •dans les Annales scientifiques de l'Ecole normale supérieure (octobre igoà). 



