SÉANCE DU 26 FÉVRIER I906. 5oi 



indétermination incomplète au point x„, elle ne saurait en présenter lorsque x 

 tend ver-, le contour C sur un chemin quelconque intérieur à C 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - — Sur la série de Fourier. 

 Note de M. Léopold Fejkb, présentée par M. Emile Picard. 



SoiL/(,T) une fonction de la variable réelle x, dont la série de Fourier 

 est partout convergente. Une question intéressante se pose : Est-ce que les 

 sommes de Fourier : 



(i) s,, ^,, s., .v„ 



où s,^ désigne la somme des (« + 1) premiers termes de la série de Fourier 

 deyr.r\ sont oscillatoires autour de la valeur de /(a;) pour chaque va- 

 leur de a?? En d'autres termes : Peut-on trouver une infinité de membres 

 de la suite (i) qui sont, pour la valeur x, jtlus grands, et une infinité, qui 

 sont plus petits que y(.r)? 



Prenons, d'une part, la fonction sans dérivée de Weierstrass : 



f{x) = ^a"cos(7/'ic), 



OÙ 



o <; a ■< 1 , /> = entier impair, ai > 1 h — -. 



Pour les arguments x = -^ {[j., v = entiers quelconques), qui sont denses 



dans chaque intervalle, la suite (i) n'est pas oscillatoire autour de f{oc). 

 D'autre part, la série suivante, qui représente une fonction entière de x, 

 avec la période 2 7v : 



/"(a?) = >]a'' ' cos(/>"a;), où o<Ca<^\, Z> = entier impair ^ i, 



montre la même [iropriété pour les mêmes valeurs de x. Mais en considé- 

 rant les courbes, qm sont composées d'un nombre fini d'arcs analytiques, 

 courbes qui se placent en quelque sorte entre les deux catégories extrêmes 

 de fonctions mentionnées plus haut, et qui sont les plus importantes pour 

 les applications, on trouve des circonstances entièrement différentes. 



