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1 . Pour traiter un cas déterminé et simple prenons pour f{x) un seul arc 

 analytique, mais pour lequel /( -f- o) et f{p.T. — o) sont différents. Nous i^oulons 

 démontrer que les sommes de Fourier sont oscillatoires autour de /(cl-) pour 

 chaque point de l'intervalle (o, 2-), les arguments o, t, pouvant être les seuls 

 exceptionnels. 



En elTet 



dn{x) — S„[!V) — f{x) ^ 



Mais, en posant 



.r) = - / — i sin( 2» 



- / . ■> — X 



J, ■•'- 



<lx. 



(3) 



■•i„(x) 





( 2 ) COS ( 2 « + I 1 (toi, 



0(ï)=; 



/(»)- /(^-t 



2 sin ■ 



une intégration par partie donne 



T,„(a-) rr;— [o(o) + ç(aT:)]cos(2/i H- l)• 



2/^ -H I 



T.d„{x)\ 



et comme 



o(0) + o(2^)=z 



/(2-)-/(0) 



l'on obtient pour d„{,r) l'expression 



('■"i) 



d„{x) = 



(2«+,)- 



/(2-)-/,0) 



ces ( 2 « -H I ) ■ 



sm — 

 2 



T,«(.î-) 



Dans l'intégrale (2) la fonction «'(a) est finie et continue entre o et 2-, par suite 

 lim T,„(.r) = o. Donc la formule (3) démontre d'une manière exacte, ((ue la suite (i) 



est oscillatoire autour dey'(./) pour chaque valeur de x. excepté peut-être o et t.. 



I . 1 V *'" "■'' II ^. • 



L exemple > montre que les valeurs o et tt peuvent se présenter efreciive- 



" = 1 

 ment comme points d'exception. 



2. Soit 2(rt„sin«a' -f- b^cosnx) la série de Fourier de la fonction /(x) 



que nous supposons telle qu'au n" 1. Une transformation, analogue à la prc- 



