SÉANCE DU 26 FÉVHIER 1906. 5o'-{ 



céilente, cniuluit aux expressions 



/>„+, — h„ = 



/ 2 « -!- I \ 3 



OÙ « = 1 , 2, 3, . . . , ce, lim£„ = lim p„= (1, qui prouvent immédiatement 



qu'à partir d'un rcriain indice les a„ sont tous de même signe et i^ont en 

 décroissant en valeur absolue, et que, en supposant /'(2.iz)^f'(o), le même fait 

 subsiste pour les h„. Cette méthode, qu'avait déjà appliquée M. Darboux 

 pour la détermination de l'ordre des coefficients de la série de Fourier, 

 mais en laissant de côté les questions relatives au signe, peut servir aussi 

 pour traiter le problème d'oscillation dans le cas le plus général, signalé 

 plus haut. 



2. Qu'il me soit permis d'ajouter une remarque, qui se rattache aux con- 

 sidérations précédentes, et que je connais sans l'avoir publiée depuis trois 

 années. Soit f( a-) une fonction continue dont la série de Fourier diçerge en un 

 point X. Peut-on trouver une suite convergente, ayant J'(cc) pour limite et dont 

 les termes sont choisis parmi les termes de la suite divergente (i)'? Pour démon- 

 trer que cela est toujours possible lorsque J'(x) est fini dans l'intervalle (o, 1-), 

 désignons par I et S les limites inférieure et supérieure de la suite (i) 

 pour n infini. D'après mon théorème sur les moyennes arithmétiques, on a 

 certainement l5/(a;)5S. D'autre part lim (.<•„ — ^„_|) = o. Donc l'ensemble 



des termes de la suite (i), qui se trouvent entre I et S, est dense dans l'inter- 

 valle (I, S). D'où il résulte déjà l'existence de la suite voulue. 



Le raisonnement est en défaut lorsque f{x') devient infini comme dans 



l'exemple de Riemann /(a,-) = ^ (a^Vos - 1, où o<.r:2-, o<v<-' 



C'est de ce problème que s'occupent M. Hobson (') et M. Lebesgue (-) 

 dans leurs Notes intéressantes. 



(') Procecdings of Lhe Loiidon matheinalical Society, second série, l. III, igoS. 

 (-) Comptes rendus, l. ()\LI, 27 novembre igo5. 



