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classes de formes jM'imitives de première espèce; soient y. /', /, ... des 

 représentants des différentes classes de formes de celte espèce et de déter- 

 minant — A. Les méthodes de Dirichlet permettent d'établir l'identité sui- 

 vante : 



^* > 2) ^/i^< j. ^. y'r+^f (^' 7' ^'< y/"' + • • • = î'^ i'^Ti^' 



les diverses sommations du premier membre étant étendues aux valeurs 

 des entiers complexes ce, y, pour lesquelles la forme correspondante repré- 

 sente un nombre premier à 2A, et les sommations du second membre anx 

 entiers positifs n premiers k i\; /. désigne le nombre de solutions de 

 l'équation H -{- \uii — i ( /- — 4 en général, /. = 8 pour A = i ). 



L'identité précédente est la traduclion analytique du fait arithmétique 

 suivant : le nombre total de représentations d'un entier m premier à i\ par 

 V ensemble des formes f, /'. ...est égal (au facteur /.prés) à la somme de ses 

 diviseurs. Pour A = i, 2, 3, les formes correspondantes ne forment qu'une 

 seule classe représentée respectivement para;r-l- 1 ;v, .r,r -f- ayy, a;jp-+- Jjy : 

 on en déduit le théorème de Jacobi sur le nombi e de décompositions d'un 

 nombre impair en une somme de 4 carrés, et deux théorèmes analogues 

 découverts par Liouville. 



Pour déduire de l'identité fondamentale qui précède l'expression du 

 nombre de classes, il suffit de chercher les limites des deux membres, res- 

 pectivement multipliés par {s — 2), quand s tend vers 2. On obtient les 

 formules suivantes : 



h(\) =1, 



le produit tc étant étendu aux divers facteurs premiers impairs, p, de A. 



La simplicité de ces formules mérite d'être remarquée. On en tire inimé- 

 iliatement cette conséquence que les seules valeurs de A pour lesquelles 

 // = I sont : A =^ 1 , 2, 3. 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des spectres. Note de 

 M. IvAK Fredholsi, présentée par M. fl. Poincaré. 



Dans une thèse récemment parue, M. Ritz a réussi le premier à con- 

 struire un svstème mécanique dont les vibrations fondamentales obéissent 



