538 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Cette condition géométrique entraîne, entre les arguments u,, la relation 



(4) 



O = v("t - W3)("< — l)(".1 — ') 



+ \ W,(t02— l)(w2— U3) + \/(0^(lù^ — CJ,)(U2 — W3) : 



qui, si l'on y remplace les to,, w,— i, to,— co^ par leurs valeurs (3), fievient, 

 toutes réductions faites, 



£ et e' désignant ± i. 



Pour déterminer i, il suffit de supposer h= o, et, par (i), g' — g; on 

 reconnaît alors immédiatement que ^,4 est identiquement nul, et que ^3,, 

 3^,2, ^5, ^0 sont égaux à -t- i pour e'"'^= o; on a donc £ ^ 4- 1, et un calcul 

 analogue donnerait aussi £'=4-1. 



En appliquant à la relation (5) toutes les transformations du premier 

 ordre qui n'allèrent pas l'équation (1), ou encore en la combinant avec les 

 relations classiques entre les dix thétas pairs d'arguments nuls, on obtient 

 neuf autres équations du même type; voici le Tableau complet de ces dix 

 relations, où nous écrivons 4> 34, ... au lieu de S^, ^^ 



'3i' 



r.3 



4 



(6) 



(7) 



2.12.14— 5.01.23 = 0, 

 o3' — 2. o. 23 -I- 34. i4-oi = o, 

 2' — o.23.o3— 4- 12. 14 = 0, 

 01' — ! 4.03.34— 5. 4 -23 = 0, 

 i4^-i- 34.01 .o3 — 12. 2. 4 = f*. 

 23' — 5. 4.01 *)- 2. o.o3:=o, 

 34^ — 12. 5. o — 01 . 14. o3 =: o, 



o' 4- 2.03.23—12.34- 5 =: o, 



5' — 0.34.12 — 23. 4-oi = o, 



12^+14. 4- 2— o. 5.34 = 0. 



On déduit de là quelques conséquences arithmétiques intéressantes. 



Dans la première équation (6) on a, pour 'à^, après remplacement de g" 

 jiar h -+- g, la série 



