SÉANCE DU 5 MARS 1906. SSq 



dès lors, ^l est une somme de termes du type 



(8) e^r/M^+p'.!^ 



et le coefficient, dans &', du terme (8) pour lequel M et P sont donnés 

 s'obtiendra comme il suit. On posera 



I M = /w; -i- (n , -h ^y -t- m: -+- («.+ i)- -i- fn; -h (n,-h{y, 



(9) < P =2m,(n,^Y)+(n,-hiy-h2m^(n^-h^)-h(n,^^y- 

 { + 2/7Î3(«3 + i) + (/;3 + ?)'. 



et l'on déterminera toutes les solutions des équations (g) en nombres 

 entiers, m,, «,, positifs ou négatifs; le coefficient cherché sera le nombre N 

 de ces systèmes de solutions. 



De même, dans le produit &5.&„,.&23, le coefficient du terme (8) sera 

 égal au nombre N' des systèmes de solutions entières, [a,, v,, des équations 



M = [^; + v; + ( a, + i)^ + v^ + (a3 + 1)^ + (V3 + i)^ 



p = 2iJ.,v, + v;-+- o(a,-t-i)v, -(-v;; + 2(j;.3 -H {) (vj + ^) + (v, + i)^ 



(10) 



Enfin, dans le produit ^aS^ioS,,, le coefficient sera la quantité 



On a ainsi, en vertu même de hi première équation (6), la relation 



(11) N-N'+i(-i )i^.-^+is^''»+' = o. 



Or les équations (9) et (10) montrent que M — f et P — | sont <ies 

 entiers de même parité, et que (x., + Vj + u., + v, est |)air : la relation (11) 



s'écrit dès lors 



N = 2N'. 



Ce résultat prend une forme bien plus intéressante si l'on ajoute membre 

 à membre les relations (9) après avoir multiplié la seconde par la quan- 

 tité i(i -I- v'5), çiii est une unité du corps quadratique y/5, et que nous dési- 

 gnerons par p. 11 vient ainsi 



M + Pp = [m, + (n, + ^)p]= + [m^ + {n, + j)p]'+ [//23 + {n, + i)ûj-, 



et, réciproquement, cette équation entraîne les deux relations (9). On 

 trouve de même, en partant de (10), 



M + Pp = {<J., + V, p)^ + (;;., + ^ + v,p/ + [1^3 + ^ 4- (V3 + ^)p]-. 



