54o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



el l'on peut maintenant énoncer le théorème suivant, relatif aux décompo- 

 sitions d'un entier du corps quadratique \J5 en sommes de carrés de trois entiers 

 appartenant au même corps. 



Si M, et P, désignent des entiers ordinaires, positifs, nuls ou négatifs, de 

 même parité, le nombre des décompositions de 4M, H- 3 + (4I^( + 3)p en 

 somme de trois carrés du type 



(12) [2W, + (2/l, + l)p]-+ [2^2 + (2/^2+ I)P]'+ [2W3+ (2/23+1)?]' 



est double du nombre des décompositions de la même quantité en somme de 

 trois carrés du type 



(13) (2iy.,+ 2v,p)^ + (2iy.„ + I + 2Vjp)=-h [2.J.3-+-I + (2V, -f- I)p]^ 



Dans cet énoncé et dans les suivants les w,, «,, ;;.,, v, sont des entiers 

 ordinaires, positifs, nuls ou négatifs; deux décompositions (12) telles que 

 A° + B-+C^ et B--hA- + C^ sont regardées comme distinctes, à moins 

 que B ne soit identique à A. 



La seconde équation (6) conduit au même théorème, la troisième et la 

 quatrième donnent ce résultat : 



Si M e/ P sont des entiers ordinaires quelconques , le nombre des décomposi- 

 tions f/e4M + 3-i-8Pp selon la formule 



(2/n, + I + an, p)^ + (2^2 + I -h 2^2?)- + (2W3 + I + 2n3p)^ 

 est double de celui des décompositions de la même quantité selon la formule 



(2y., + 2v,p)='+[2[/.. + (2V„-+- l)p]-+[2[;.3 + I + (2V3+l)p] = . 



Des deux dernières équations (6) on déduit que : 



Si M et P sont des entiers ordinaires quelconques , le nombre des décomposi- 

 tions deiM + 6 + (4P + i)p selon la formule 



[2m, + I + (2/2, + l)p]-+ [2W„+ I + (2«2-|- i)p] 



+ [2^3+ 1 -H(2n3+l)p] 



est double de celui des décompositions de la même quantité selon la formule 



(2p., + 2v,p)-+[2[J.o4-(2V2+ r)pj-+(2ij.3-hl-f- 2V3P)-. 



Enfin, les équations (7) donnent les propositions suivantes : 



Soient M et P des entiers ordinaires quelconques; on considère les 



