SÉANCE DU 5 MARS I906. 54 I 



décompositions de 4M -+- 4Pp selon les deux formules 



([) (2/?2,+ 2«,p)2 + (2/?^,-+-2/?„p)2+(2/7^3^-2/^3p)^ 



(FI) [2;x,+(2v,+l)p]-+(2y., + I-h2v,p)2 + [2iy., + |+(2V3+l)p]-. 



• P(P ^ l) 

 1° Si î^MP + I mod2, le nombre des décompositions (II) est 



égal à huit fois le nombre des décompositions (I); cette fois, les décompo- 

 sitions (I), qui diffèrent seulement par l'ordre des termes, ne comptent (jue 

 pour une seule; une décomposition (I), dans laquelle deux des quantités 

 2W,+ 2/?,p sont égales, ne compte que pour |; enfin, les trois quantités 

 2w,+ 2«,p ne peuvent être égales entre elles. 



20 si P(P-0 ^MPmod2 etsi^li^llll>:^MP + IVH-P+imod2,le 

 le même énoncé subsiste. 



3« Si ^^iii=li^=MPet^^^^^Lzil)=MP4-M-HPmod2, le nombre des 

 décompositions (II) est quatre fois celui des décompositions (I) avec les 

 conventions que voici : les décompositions (I) qui ne diffèrent que par 

 l'ordre des termes ne comptent que pour une; celles ou deux au moins des 

 quantités 2/n,-f-2n,p sont égales comptent pour zéro; de plus, si M est 

 pair, une décomposition où tous les /n, et tous les «, ont la parité de P 

 com(>le pour zéro; si M est impair, une décomposition où tous les m, ont la 

 parité île P + i et tous les n^ la parité de P compte également pour zéro. 



On obtiendrait des propositions de même nature en faisant g' = h-\- g 

 dans les relations classiques entre les dix ihêtas pairs d'arguments nuls, et 

 d'aulres, moins banales, en partant d'équations spéciales au cas de la rela- 

 tion (i), telles que celles-ci : 



5. 0.14-— 12. 34.23--I- 2.4.03.01 =0, 

 34.i4-23- + oi.o3.i2* — 0.2. 4- 5 = 0, 



qu'on déduit assez aisément, au nombre de quinze, des équations (6) et (7). 

 Enfui les relations entre les dix thètas, qui caractérisent les cas singu- 

 liers g' =^ -2 g, g' = 3g, conduisent à des propositions sur les décomposi- 

 tions en carrés des entiers appartenant aux corps quadratiques y/2 et \fi. 



G. K., 1906, 1" Semestre. (T. CXLII, N-^ 10.) J2 



