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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur' la déformation des quadriqaes. 

 Note de M. Luigi Bianchi. 



I. Dans mes dernières recherches sur la déformation des surfaces géné- 

 rales du second degré, j'ai reconnu l'existence d'un élément géométrique 

 nouveau, qui doit jouer, il me semble, un rôle fondamental dans toute la 

 théorie des transformations de cette classe de surfaces applicables. Il s'agit 

 d'une classe particulière de congruences reclilignes W ('), dont les deux 

 nappes de la surface focale sont applicables sur une même quadrique, d'ail- 

 leurs quelconque. 



La première proposition fondamentale de la nouvelle théorie est donnée 

 parle théorème suivant : 



Théorème A. — Toute surf ace (S) applicable sur une quadrique () {quel- 

 conque) appartient, comme première nappe de la surface focale, à une double 

 infinité de congruences W, dont la deuxième nappe (S,) est applicable sur la 

 même quadrique Q. 



C'est dans le passage de (S) à (S,) que consiste une de nos do^ transfor- 

 mations de la surface (S) applicable sur Q. Pour effectuer la transforma- 

 tion, on aura à intégrer une équation de'Riccati, dont les coefficients con- 

 tiennent une première cruistante arbitraire, la deuxième constante étant 

 introduite par l'intégration. La présence île ces deux constantes ari)itraires 

 permet, pour un point P de (S), d'assigner comme l'on veut, dans le plan 

 tangent à (S) en P, le point correspondant P, de (S,), ce qui fixe la trans- 

 formation. La première constante, qui figure dans l'équation de Riccati, 

 sera désignée [)ar c et la transformation même sera dite une transforma- 

 tion B(j. 



Il résulte déjà des propriétés de l'équation de Riccati que l'aj)plication 

 successive (le la même transformation B^ aux nouvelles surfaces (S,) exi- 

 gera seulement des quadratures et ainsi de suite indéfiniment. 



IL On peut aller bien plus loin, en s'appuyant sur la deuxième propo- 

 sition fondamentale qui résidte du théorème suivant : 



Théorème B. — Si, en partant d'une surface (S) applicable sur la qua- 



(') J'appelle congriicnce W toute congruence recliligne telle que sur les deux 

 nappes de la surface focale les lignes asymptotiques se correspondant. 



