SÉANCE DU 5 MARS igo6. ,^63 



drique Q, on a dèduil deux pareilles surfaces (S,), (S^), à l'aide des deux 

 trans formations B^^ , B^,, dont les constantes a,, a., soient différentes, il existe 

 une quatrième surface (S'), parfaitement déterminée, qui se trouve liée aux 

 mêmes surfaces (S,),(So) respectivement par deux transformations B^, B'^^, 

 avec les mêmes constantes échangées ( ' ). 



Celte proposition, à laquelle je donne le nom de théorème de permutabi- 

 lilé, démontre qu'il suffit d'inté£;rer la première équation de Riccati (pour 

 une valeur quelconque de la constante c), après quoi l'application indéfi- 

 niment répétée de la méthode de transformation n'exigera plus que des 

 calculs algébriques sans jue quadrature. 



III. Je voudrais indiquer ici une première voie qui conduit à établir le 

 théorème A. On sait que M. Darboux, dans ses belles recherches insérées 

 dans le Tome CXXVIII des Comptes rendus (mars-avril 1899) et reproduites 

 dans le Tome XVI (3* série) '''="^ innnles de V École Normale supérieure , a 

 fait tiépendre la déformation ci ^o quadriques générales d'une classe parti- 

 culière des surfaces isolhermiques. 



En poursuivant ces recherches de l'éminent géomètre, j'ai démontré (^) 

 que, parmi les 00^ transformées de Darboux d'une telle surface isother- 

 mique spéciale, il y en a ce' qui sont encore isotliermiques spéciales de la 

 même classe, c'est-à-dire telles que la quadrique associée Q reste la même. 

 Il en résultait une méthode de transformation pour les siufaces applicables 

 sur les surfaces générales du second degré. Je trouve maintenant (\\iune 

 telle transformation de Darboux se décompose en deux successives de nos nou- 

 velles transformations B^. Ces dernières fonctionnent donc vraiment en 

 éléments simples, pour la théorie des transformations. 



IV. Par les deux théorèmes A et B noire nouvelle théorie est sûrement 

 fondée. Mais bien des développements sont encore nécessaires, surtout au 

 point de vue réel, pour séparer les divers cas. Pour les quadriques de révo- 

 lution et aussi pour les paraboloïdes généraux, j'ai fléjà poussé jusqu'au 

 bout les recherches indiquées dans deux travaux récents ('). 



(') On peut dire aussi que cliaque couple de surfaces (S), (Si), applicables sur la 

 quadrique O et liées entre elles par une B^^^, est changé par une Mr;^ quelconque en 

 un nouveau couple de telles surfaces (S^), (S'), qui sont encore liées par une Bg-,. 



(^) Voir mon Mémoire Suite siiperjicic isoterme e sulla de for ma zio ne délie cjiia- 

 driche {Annali di malemalica, 3° série, t. XI, igoo), 



(') Memorie délia Società Italiana délie Scienze (detta dei XL), 3' série, 

 t. XIV, igoj, et Annali di Matematica, i' série, l. XII, 1906. 



