SÉANCE DU 5 MARS 1906. 565 



aujourd'hui de compléter ce résultat par de nouvelles propositions que j'ai 

 établies récemment. 



THKonÈME A. — Si une solution z de l'équation (i) est régulière pour toute 

 valeur réelle finie de r et y, elle se réduit sur une circonférence quelconque C à 

 une fonction entière de l'arc . 



Théorème B. — Si, sur la circonférence C, s se réduit () une fonction ana- 

 /) tique de l'arc 'flO), telle qu'aux points singuliers les plus rapprochés de l'axe 

 réel |ep(9)| + cp'(^)l '^'"^^ indéfiniment, la singularité de z la plus approchée 



du cercle C sera telle que | ^ | -f- -^ + '^ croît indéfiniment. 



Si, au lieu de nous placer dans le cas général, nous supposons / linéaire 

 par rapport à :;, -r^, -^, de sorte que l'équation (i) devient 



(^) £' + 5? = ^(^>')'^ + E(^>')^ + C(a.r)| 4- D(.rj), 



nous aurons de plus les propositions suivantes : 



Théorème C — Le point singulier de z le plus rapproché du cercle C se con- 

 fond avec le point singulier de la fonction harmonique qui prend les mêmes 

 valeurs sur C (et par conséquent peut être facilement déterminé a priori). 



Dans le cas des équations linéaires, la réciproque du théorème A est éga- 

 lement exacte, de sorte qu'on a : 



Théorème D. — Si, sur un cercle C, la solution z (régulière à son intéj-ieur) 

 se réduit à une fonction entière de l'axe 6, elle na pas de singularités réelles à 

 distance finie. 



Si nous supposons, en outre, que A, B, C, D sont des fonctions entières 

 de X et de y, nous pouvons indiquer encore deux propositions intéressantes : 



Théorème E. — Si, sur la circonférence C, le rayon de convergence de z 

 considérée comme fonction de 9 n'est jamais inférieur à R, les rayons de con- 

 vergence des dérivées partielles de z d'ordre quelconque considérées comme 

 fonctions de sont également supérieurs ou égaux à R. 



Le théorème D peut donc être complété de la façon suivante : 



Corollaire. — Si, sur un cercle C, z se réduit à une fonction entière de 0, 

 elle se réduit sur un cercle quelconque ainsi que ses dérivées de tous les ordres à 

 une fonction entière de l'arc. 



c. r., 1906, I" Semestre. (T. CXLII, r.' 10. "JO 



