SÉANCE DU 12, MARS igo6. 6l5 



L'égalité (i4), jointe aux inégalités (,t) et (6), nous montre que, pour les 

 valeurs de p, suffisamment voisines de p^, la fonction P(pi) croît avec p,. 

 Dès lors, /es égalités (i) donnent toujours des valeurs réelles pour -^'o, V, tant 

 que p , est suffisamment voisin de po . 



Les égalités (12), (12 bis) et (i3) montrent que, pour les valeurs de p, 

 suffisamment voisines de p,, S(p,) est une fonction croissante de p,. En 

 est-il de même pour toute valeur de p, inférieure à p„? Pour que S(|0|) 

 cessât, pour une certaine valeur de p,, d'être fonction croissante de p,, il 



faudrait que -1- s'annulât pour cette valeur; alors, en vertu de la démon- 



stration précédente, -3— serait positif; il en serait de même de (p„ — p,) et, 



en outre, selon (i), de (Ilo — II,) si ■(?„, \'), sont réels. L'égalité (11) serait 

 alors une absurdité. Dès lors, l'uiégalité (2) conduit à la conséquence sui- 

 vante : 



Tant qu'une quasi-onde de choc peut se propager avec une vitesse réelle en 

 un fluide mauvais conducteur, la densité est plus grande en amont de l'onde 

 qu'en aval. 



La qiiasi-onde se propagera-t-elle avec une vitesse réelle quelle que soit 

 la valeur de p,, inférieure à p,,? Si celte vitesse devait devenir imaginaire 

 j)our une certaine valeur de p,, il faudrait que, pour ime valeur de p, com- 

 prise entre celle-là et p^, on eût ^ = o. Or, pour cette dernière valeur 



de p,, ^ serait j)ositif d'après le théorème précédent. Dès lors, l'éga- 

 lité (9), jointe aux inégalités (6) et (7), nous apprend que ,^ est positif 



pour cette valeur. 



D'ailleurs, l'égalité (8) devient alors 



rfP(P.) _ ^ <^i;(pi,T.) o (j^;(pi,T,) , (?^?(pi,T.) ^e(p.) 



(^p, ~^P' dp, "*"?' rfpî "^P' ()?, dT, do. 



En vertu des inégalités (.")) et (6), elle donne 



— T^^ > o et non — j^-^ = o. 



rfpi -^ rip, 



Donc, au sein d'un fluide qui se dilate par une élévation de température, 

 une quasi-onde de choc se propage avec une vitesse réelle, quelle que soit la 

 grandeur de la discontinuité. 



