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J'ai donné des applications de ce concept dans quelques questions d'analyse. J'ai 

 tàclié en efTet de remployer dans l'étude des fonctions analvliques de plusieurs variables. 

 Toute opération algébrique ou de dérivation appliquée à ces fonctions conduit à de 

 nouvelles fonctions analytiques, mais les opérations d'intégration nous amènent à des 

 fonctions qui dépendent des contours des domaines d'intégration et par conséquent à 

 des quantités qui dépendent d'autres fonctions. 



Lorsqu'on veut étendre les méthodes de Hamilton et de Jacobi sur les questions de 

 la Mécanique aux systèmes continus et aux problèmes de la Physique mathématique, 

 on est aussi amené d'une manière toute naturelle à ces concepts. 



Les problèmes qui présentent le plus d'intérêt sont ceux, où les fonctions dont 

 dépendent les c|uantités qu'on envisage sont inconnues, et il faut les déterminer par 

 des propriétés de ces quantités. I^es problèmes du cnlcul des variations nous en offrent 

 les premiers exemples et aussi les plus simples. Mais il y a aussi d'autres questions qui 

 s'y rapportent. Ce sont les problèmes de l'inversion, et en particulier ceux des inté- 

 grales définies où les fonctions inconnues paraissent sous les intégrales. 



C'est en poursuivant ce but, et en vue du problème général dont j'ai parlé, que j'ai 

 étudié il y a quelques années ce problème dans le cas le plus simple possible, celui où 

 le déterminanl fondamental est égal à sa diagonale ('). M. Fredholm, dans un remar- 

 quable travail, a étudié le problème dans le cas où le déterminant est quelconque 

 en arrivant à des résultats du plus grand intérêt et M. Hilbert vient de reprendre la 

 question en y faisant des applications très étendues. 



Le concept que nous avons exposé des fonctions qui dépendent d'une 

 autre fonction ou de pltisieurs fondions se raltiiche direclemetit à la défi- 

 ndion de fonction donnée par Dirichlet. Lu critipie de cette définition a 

 donné lieu à bien des discussions parmi lesquelles celles toutes récentes de 

 M. Pierre Boutroux sont très intéressantes. Il est évident que le concept 

 est attaché à celui de loi physique, mais je n'entrerai pas dans cette ques- 

 tion, je remarquerai seulement qu'en posant successivement certaines con- 

 ditions et certaines limitations on peut passer du concept de fonction tel 

 que l'a posé Dirichlet à celui de fonction analytique. Il est inutile de rap- 

 peler ces conditions qui sont bien connues et qui se rapportent à la conti- 

 nuité, à l'existence des dérivées, etc. 



On peut procéder de la même manière ilans le cas des fonctions qui dé- 

 |)endent de toutes les valeurs d'une tonction ou de plusieurs fonctions. 



Envisageons le cas le plus simple, celui d'une quantité F qui dépend des 

 valeurs d'une fonction continue /"(^r-) définie pour les valeurs de x com- 

 prises entre a et h. Il n'y a pas de difficulté à étendre le concept de con- 



(^) Sulla inversione degU inle!:;rali dejlnili. IVota I, § 3 {Atti R. Ace. dl Torino, 

 1896), et Notes suivantes. 



