SÉANCE DU 19 MARS 1906. 698 



tinuité à la variable F. Supposons maintenant qu'on parte d'une fonction 

 iniliale/(.x') et qu'on la change en la remplaçant pary"(,r) -h i'f{x) où e 

 est une quantité infiniment petite. On peut tâcher de calculer la variation 

 de F. 



Sous certaines conditions la partie du |)remier ordre, par rapport à i, de 

 celte variation, peut s'exprimer par une intégrale définie 



^f\C,,)Y'il,)dl 



La fonction F'(E,) joue le rôle de première dérivée. Elle est indépen- 

 dante de <p(ç), mais elle dépend, en général, de toutes les valeurs de y (a;), 

 c'est pourquoi on peut lâcher de trouver la variation de F'(E,) lorsqu'on 

 remplace /(a?) par/(a7)+ e (p(.r). Si l'on néglige les parties qui sont infi- 

 ment petites d'un ordre supérieur à e, sous certaines conditions on trouve 

 que celte variation est donnée par 



"J a 



F"(E|, ^„) joue le rôle de première dérivée de F'(Ç|) et de seconde dérivée 

 de F. Elle est indépendante de cp(a;), mais dépend de toutes les valeurs 

 de/(a;). Elle est une fonction symétrique de ^, et?,. On peut aussi cal- 

 culer la troisième dérivée qui s'exprime par une fonction F"'(ç,, Ço, ^3) 

 symétrique et amsi de suite. 



Cela posé on peut se proposer de développer la valeur de F qui corres- 

 pond à /(.r)-i- j çp(a;) dans une série de puissances de t. Sous certaines 

 conditions qui sont semblables à celles qu'on a pour la série ordinaire de 

 Taylor on trouve 



F = F„ + s r''<p(?,)F'(ç.)^;. + ^^ rYV"(I..H,)./^,^;, 



'J a - l'a '-a 



' (/ *- Il •■Il 



' .; -',1 



OÙ F'"'(^,, c,.,, ..., E„) est une fonction symétrique des n variables ;,, ;^, . . ., 

 ^„, indépendante de o(x). Après cela en faisant e = i, on peut élimmer 

 cette quantité. 



