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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les affixes des racines d'un polynôme 

 de degré n et du polynôme dérwé. NoLe de M. J. Juhel-Ké.voy. 



Considérons dans un plan n points A,, ('/• = i , 2, . .., n) donnés par les 

 équations 



A;t^«X;t+ ^'Ya+ I = O. 



L'équation 



est Téquation tangentielle d'une courbe de classe (n — i) tangente, en 

 leurs milieux, aux droites qui joignent deux à deux les points A^^ 



D'ailleurs, les tangentes menées à la courbe du milieu de A„,A^, par 

 exemple, et distinctes de A„,Â^, sont tangentes à la courbe déclasse (« — 3) 

 tangente, en leurs milieux, aux droites qui joignent deux à deux les (n — 2) 

 points A/,- autres que A„, et Aj,. 



D'après cela on peut énoncer ce théorème : 



Théorème. — Soient A/^ (^ = i , 2, . . ., «) les affixes des racines d'un jw- 

 lynome f(z) de degré n. Les affixes des racines du polynôme dérivé sont les 

 foyers réels d'une courbe de classe (« — i) tangente, en leurs milieux, aux 

 droites qui joignent deux à deux les points A/^. 



Théorème auquel ou [)eut encore donner la forme suivante : 



Théorème. — Les positions d'équilibre d'un point mobile attiré par n points 

 fixes Aj(A = I, 2, ...,/?) de même masse, en raison inverse de la distance, 

 coïncident avec les foyers réels d'une courbe de classe (n — i) tangente, en leurs 

 milieux, aux droites qui joignent deux à deux les centres d'attraction. 



Remarque. — On démontrerait, absolument de la même manière, que 

 l'équation 



2xf = ° {k=\,^, ...,n) 



représente une courbe de classe (« — i) tangente aux droites joi- 

 gnant deux à deux les points A^, le point de contact divisant le segment A^A^ 



dans le rapport -, et l'on aurait un théorème analogue au précédent 



et relatif à n centres d'attraction de masse m,,. 



