SÉANCE DU 26 MARS 1906. 759 



céderont et se formeront suivant la nièuie loi : 



{a, b, ..., 0, («-H ''3, ^+ 'li, , « + /-3), 



(rt-t-2/-3, 6 + 2/-3, .... t+:>.r.i), . . ., 

 [« + (/J — i)/-3, b^{p — i)i\, ..., < + (/>_i)/-3], 



fl, /*, . . ., /, étant les nombres consécutifs de la série précédente (/'l'i). 

 On pourra continuer l'opération indéfiniment. 



Il résulte de ce qui précèile qtie les p" premiers nombres, o, i, 2, ..., 

 p" — i, pourront toujours être écrits dans l'ordre d'une série numérale 

 (r, To, . . ., /'„) et que la forme linéaire r,x + r^y -h. . .-h r,J peut repré- 

 senter tout nombre de o à yo" — i . 



On remarquera que, si l'on donne aux nombres /•,, /:,, r.^, ..., /•„ les 

 valeurs respectives i,p,p-, .. , p""', les p" premiers nombres se trouveront 

 écrits dans l'ordre naturel de croissance. 



Toute la théorie des espaces magiques aux n premiers degrés est fondée 

 sur les propriétés de la série numérale. 



Cette conception nouvelle a été puisée dans V Arithmétique graphique de 

 M. G. Arnoux. Dans ce remarquable Ouvrage, M. G. Arnoux caractérise 

 ce qu'il appelle une direction dans l'espace congruent à k dimensions par 

 la formule 



{{irtf) (a, x 4- «2 j + . . . -h a^t), 



dans laquelle a,, a.^, ..,, représentent des pas etx,j, ..., les directions 

 des coordonnées corresfjondantes. 



Dans l'application des propriétés des séries numérales, j'emploie une 

 formule identique, à laquelle j'attribue une signification légèrement diffé- 

 rente. 



Le perfectionnement apporté suffît pour permettre de déterminer et 

 représenter un espace à k dimensions, magique aux n premiers degrés, à 

 l'aide seulement de k lignes de n nombres. 



Ainsi un carré cabalistique n magique est déterminé par zn nombres, 

 que ma méthode apprend à calculer. 



Ces 2n nombres sont les clés du carré; désignons-les par 



' J ♦ ^2^ '.'J ' - • * » ^n» 

 5 j , >2 î ^3 > • • . » Sfi. 



La série numérale (7,, r,, ..., /„, ^i,^-^, ■•■,s„) se compose des/?-" premiers 

 nombres, de o à p'-"—i, que nous placerons dans les cases successives 



