SÉANCE DU 26 MARS 1906. 761 



du point y =z o et s'annulanl, ainsi que ses deux premières dérivées, 

 pour y = o, 



(2) $( y) = a^ )-' -+- y., y" +. . .+ a„ r" + • . . . 



D'après un théorème générnl (Comptes rendus, t. CXXV, p. 64o), l'équa- 

 tion (i) admet une intégrale holomorphe g ::= F(a?, j'), dans le domaine 

 des valeurs x =^ q, y ^ o, se réduisant à zéro pour y = et à ^(y) pour 

 cr = o, et cette intégrale admet tous les éléments de la caractéristique T. 

 Pour l'étudier dans le voisinage de cette caractéristique, il est naiurel 

 d'ortlonner le développement en série entière de z suivant les puissances 

 de y 



(3) z = ^3(0;)/' + f,(-^)r + •••+>«(«■ )J" + ---. 



^^, ^^, ...,i^„, ... étant des fonctions holomorphes de x dans le domaine 

 de l'origine qui prennent respectivement les valeurs a.^, a.^, ..., a„, ... 

 pour X =^ o. Ces coefficients peuvent être déterminés de proche en proche 

 pardes équations différentielles. Si l'on substitue en effet le développement 

 précédent dans l'équation (1) et qu'on égale les coefficients des mêmes 

 puissances de y dans les deux membres, on a d'abord pour déterminer (j/^ 

 une équation de Riccatti : 



(4) 3'K-E + (3C + 6F)4-3 + 36H(^,)^'; 



les coefficients (|/„ (/?^3) sont ensuite déterminés de proche en proche 

 par des équations linéaires : 



(5) «+1,= [nC -h6n(n — i)F + T2rt(/i — i)Hi]/3]t]^„ + R, 



R étant un polynôme entier par rapport aux coefficients de l'équation (i), 

 aux fonctions (j^j, ..., J;„_,, et à leurs dérivées du premier et du second 

 ordre. 



(^ela étant, si l'intégrale de l'équation (4) qui prend la valeur «3 pour 

 cc = o, est holomorphe dans un domaine simplement connexe D'^., intérieur 

 à D^, il en sera de même des fonctions suivantes '}^, ..., i|<„, ... dans le 

 même domaine et l'on obtient un développement de la forme (3), satis- 

 faisant furmellemenl à l'équation (i) et dont tous les coefficients sont des 

 fonctions holomorphes de x dans D'^,. La convergence de ce développement 

 résulte du théorème suivant : 



Lorsque l'intégrale ^^{■k) de l'équation (4) qui prend la valeur a^ pour 



