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X ■= o est holoniorphe dans un domaine simplement connexe D',., intérieur 

 à D^, l'intégrale z — Y{x,y) de l'équation (i) qui satisfait aux conditions 

 initiales 



F(o,.y) = <ï>rv). Ffa;,o) = o | 



est une fonction holomorphe des variables x et y, lorsque x décrit le do- 

 maine D',„ le module de y restant inférieur à un nombre positif r, convenable- 

 ment choisi. 



2. Les seuls points singuliers de l'intégrale sur la caractéristique F sont 

 donc les points singuliers de '\'3(x). Les fonctions E, C, F, H de la variables; 

 étant holomorphes dans le domaine simplement connexe D^, l'intégrale 

 '\i3(x) de l'équation de Riccatti (4) ne peut avoir comme points singuliers 

 dans ce domaine que des pôles, dont la position varie avec la valeur initiale a, 

 pour X = 0. Les intégrales de l'équation (i) qui admettent tous les éléments 

 de la caractéristique T ont donc, en général, des points singuliers mobiles 

 sur cette caracléristique. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de variables 

 réelles et que les coefficients de l'équation (i) soient des fonctions holo- 

 morphes de X le long d'un segment de l'axe réel compris entre deux 

 points A et B d'abscisses a et 6 (a<o <i). Si l'équation (4) n'admet 

 aucune intégrale réelle continue dans l'intervalle (a, b), on peut affirmer 

 que toute surface intégrale de l'équation (i) passant par cette caractéris- 

 tique admet au moins un point singulier sur le segment AB. 



3. La méthode précédente peut s'étendre, avec quelques modifications, 

 à des svslèmes différentiels beaucoup plus généraux. Dans le cas parti- 

 culier d'une équation de Monge-Ampère admettant la caractéristique du 

 premier ordre 



y = z=p = q — o, 



on peut mettre cette équation sous la forme 



(6) s = F(x, y, z, p, q, r, yt, zt,pt, qt, rt), 



le second membre étant Tine série entière ordonnée suivant les puissances 

 de y, z, p, q, r, yt, zt,pt, qt, rt, dont les coefficients sont des fonctions de x. 

 Toute intégrale admettant la caractéristique précédente est représentée 

 par un développement de la forme 



(7) - =y-''i-^-^y'^^+- ••-+-.>'"']'«+• • •. 



lè premier coefficient tj;^ est déterminé par une équation de Riccatti et les 



