SÉANCE DU 26 MARS 1906. 703 



suivants par des équations linéaires. La suite de la discussion est la même 

 que dans le cas général. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ensembles discontinus. 

 Note de M. L. Zoretti, présentée par M. Painlevé. 



Dans une Note présentée à l'Académie le 23 octobre igoS, M. Riesz 

 utilise une propriété des ensembles discontinus au sujet de laquelle je 

 voudrais faire quelques remarques. 



Cette proposition est la suivante : la projection sur une droite d'un 

 ensemble parfait discontinu est aussi un ensemble discontinu. Or, sans 

 nous demander si cette propriété joue ou non un rôle essentiel dans la 

 démonstration du théorème de M. Riesz, je rappelle que l'on a au contraire 

 formé et depuis longtemps des exemples d'ensemble discontinu se pro- 

 jetant sur une droite suivant un segment continu. Mais, et c'est le but de 

 cette Note, on peut aller beaucoup plus loin et les exemples qui suivent 

 feront concevoir quelle complication apportent ces ensembles dans les 

 questions où ils se présentent, et la gène est d'autant plus grande qu'ils se 

 présentent plus naturellement. 



Je rappelle brièvement comment on peut former l'exemple dont je viens 

 de parler. On considérera l'ensemble des points qui ont pour abscisse un 

 nombre qui s'écrit dans le système de numération de base 3 sans employer 

 le chiffre i (la partie entière étant zéro) et pour ordonnée le nombre écrit 

 dans le système binaire en remplaçant le chiffre 2 par i dans l'abscisse et 

 en laissant inaltérés les chiffres o. Cet ensemble, en y ajoutant l'origine, 

 est discontinu et parfait. Sa projection sur l'axe Oy comprend tous les 

 points du segment o — i. 



Ce résultat bien connu étant acquis, désignons par y = E(x) cet 

 ensemble et considérons un ensemble fermé quelconque F comprenant le 

 point 1,1. Construisons uu ensemble semblable à l'ensemble E(a;) en pre- 

 nant successivement chaque point de F pour point homologue du point 1,1; 

 l'origine des coordonnées étant point double dans toutes ces similitudes. La 

 somme de tous ces ensembles réalise un exemple d'ensemble discontinu 

 (comme je l'ai montré dans ma thèse); on peut voir qu'd est fermé, donc 

 parfait. Il existe une infinité dénombrable de droites sur lesquelles il se 

 projette suivant un ensemble en partie continu. 



