SÉANCE DU 26 MARS 1906. 765 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement en série trigonométrique 

 des fonctions non intégrables. Note de M. P. Fatou, présentée par 

 M. Painlevé. 



Le but de cette Note est d'éclaircir et de compléter un passage du 

 Mémoire de Riemann ( ' ) sur les séries trigonométriques. 



Nous désignerons par /(a;) une fonction de période 2tz, intégrable et 

 bornée dans tout intervalle ne contenant aucun point congru à zéro, mais 

 cessant de remplir ces conditions au voisinage du point O. On suppose 

 toutefois : 



I. Que la fonction f{x) + f{—x) est intégrable en valeur absolue 



de o à 77. 



II. Que xf{x) tend vers zéro en même temps que x. 



Cherchons sous quelles conditions on pourra représenter /(a;) par la 

 série 



(S) rt„ + («, cosa? -f- b^ sinx) + . . . + (a„ cosna; + b^ûnnx) -{-..., 

 où l'on a posé 



«o=;^r[/(o)+/(-- 0)1^6, 



h„= '- r /(0)sinra6f/6; 



ces intégrales ayant un sens d'après les hypothèses faites. 



Pour que cela soit possible, il est nécessaire que a„ et è„ deviennent infi- 

 niment petits avec -■ Cette condition se trouve remplie pour a„ d'après une 



remarque de Riemann, généralisée par M. Lehesgue, sur la décroissance 

 des coefficients d'une série de Fourier. 



Mais la condition lira è„= o n'est pas une conséquence nécessaire de nos 



(') Ueber die Darslellbarkclt einer Fanction durch eiiie trlgoiwmelrische Reihe, 

 § 12. 



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