766 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



hypolhèscs. Elle équivaut à la suivante : 



• 2 «H- I „ 

 sin 



Jim f /(Ô)tang| j^ r/^— o, 



sin 

 2 



ce qui veut dire que : 



III. La fonction/(ii;) tang- [ou si l'on veut a;/(x)] a sa série de Fourier 



convergente pour a; = o. 



Si ies conditions I, II, III sont remplies, non seulement a„ et h„ ont 

 pour limite zéro, mais i! en est de même, comme on le voit aisément, des 

 intégrales 



(A) : 



I f [/(0)l(9) + /(-6)A(-0)Jcos«9rfO, 

 : -'0 



>.(0) désignant une fonction bornée ayant une dérivée finie pour = o. 



Or la somme des n premiers termes de la série S peut s'exprimer [>ar 

 l'intégrale de Dirichlet 



sin {2 II -\- I) 



à la condition de réunir sous le signe / les éléments qui correspondent 



à des valeurs de 9 égales et de signe contraire, pour voisin de zéro, et la 

 partie de celte intégrale relative à l'intervalle ( — a, -t- a) ne contenant 



pas le pointa-, tend vers zéro avec -; en effet, en posante (9) = — j, 



on aura à considérer 





sin(2n + i)^^^ — ^).(9)/(9)f/9. 



ce qui se ramène immédiatement à des intégrales du type (A). 



Donc, le voisinage du point 9 = o n'a aucune influence sur la conver- 

 gence de S„. 



On peut donc conclure que, si les conditions I, II, III sont vérifiées, la 



