SÉANCE DU 26 MARS 1906. 767 



condition nécessaire et suffisante pour que la série (S) converge vers /(a?) 

 est que la fonction égale à /(x), dans le voisinage du point x, et à zéro 

 partout ailleurs, soit représeiilai)le par sa série de Fourier. 



On pourra ainsi appliquer les critères connus de convergence des séries 

 de Fourier à des classes étendues de fonctions non intégrables. En voici 

 des exemples : 



1° Posons 



sin — 



a; log i log log i 



pour 



et 



/(•O = 



/(.r)+f(-x) = o. 



La fonction ainsi définie satisfait aux conditions I, II, III ('). Elle est 

 développable en série de la forme 



. TT . /m 



a. sm-cc + . . . 4- a„ sm — a; + 



a 7. 



On peut remarquer que | /(*')! "^'est pas intégrable, mais que /(ic) 

 l'est; la série précédente appartient donc à la classe des séries de Fourier 

 généralisées, c'est-à-dire de celles dont les coefficients sont donnés par les 

 formules de Fourier calculées au moyen des fonctions primitives. 



2° Au contraire la série convergente 



■^ s In nx 

 ^d logn 



représente une fonction qui n'est, à aucun point de vue, intégrable dans 

 un intervalle comprenant le point x = o. On voit facilement, en effet, que 



son intéerale indéfinie V ' ^ ' ne tend pas vers une limite finie quand n 



° .^^ n log n ^ ^ 



tend vers zéro. 



(') Pour 111 cela résulte d'un critère de convergence des séries de Fourier, dû à 

 MM. Lipschilz et Dini. 



