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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les surfaces hyperelliptiques définies par les 

 fonctions intermédiaires singulières. Note de M. Louis Remy, présentée 

 par M. Humbert. 



Dans le cas où les périodes d'un système de fonctions abéliennes vérifient 

 la relation g' := T)g, M. Hiimbert a établi qu'il existe des fonctions intermé- 

 diaires singulières cp/,a(m, v) qui ne sont pas des fonctions thêta aux mêmes 

 périodes ('). Les surfaces pour lesquelles les coordonnées homogènes 

 d'un point sont égales à quatre fonctions <p,,(po,cp3,cp, de mêmes indices /, k, 

 de caractéristique donnée, linéairement indépendantes sont des surfaces 

 hyperelliptiques particulières dépendant de deux modules : M. Humbert 

 en a donné d'intéressants exemples, en particulier des surfaces du qua- 

 trième ordre à i5 points doubles (^). 



Nous nous proposons de démontrer que ces surfaces peuvent être 

 définies au moyen des fonctions théla et qu'on peut rattacher chacune 

 d'elles à une surface hyperelliptique plus générale, dépendant de trois 

 modules, dont elle n'est qu'un cas singulier. 



Effectuons, en effet, la transformation singulière 



u= l\} +/rV, 



d'ordre S = P — DX-^. Les quatre fonctions coordonnées (p,(M, f), d'in- 

 dices /, k, se changent en des fonctions 0j(U, V) qui sont des fonctions 

 thêta d'ordre S, vérifiant d'ailleurs la condition 



(I) efu - ^, V + ^) = e(u + ^ V - n = 0(U, V). 



/ \ 



De là résulte que les deux représentations paramétriques 



et 



X,= 0,(U,V) 



définissent une même surface 2. 



(•) Journal de Mathématiques, 5" série, t. V, 1899. 

 (^) Comptes rendus, 2" semestre 1899. 



