SÉANCE DU 26 MARS 1906. 769 



Les fonctions e,(U, V) auxquelles conduit la transformation précédente 

 ont également leurs périodes G, H, G' liées par une relation singulière; mais 

 on peut considérer les mêmes fonctions 0,(U, V) répondant à des périodes 

 générales, et, en les égalant aux coordonnées X,, on obtient une surface 

 hyperelli[)tique S(U,V), dépendant de trois modules, dont la surface 2 

 n'est qu'un cas singulier. 



Il y a lieu de remarquer que les fonctions Ô,(U, V) ne sont pas les fonc- 

 tions thêta d'ordre S les plus générales, car elles doivent satisfaire aux 

 relations (i). On peut dire qu'elles admettent le Tableau suivant de 

 périodes 



' G H 



(T) 



S 



ù 



l 



^ -^ n Q' 



D'où cette conclusion : Les surfaces hyperelliptic{ups définies au moyen 

 des fonctions intermédiaires singulières sont identiques aux surfaces 

 définies au moyen des fonctions thêta qui répondent au Tableau de pé- 

 riodes (T). 



Si l'on donne aux entiers /, k, D les valeurs particulières 



l^l, k = i, D = S(S-i), 

 le Tableau de périodes (T) est équivalent au Tableau 



G H 

 H G 



(T') 



- o 







et l'on est conduit aux fonctions ihéta étudiées par M. Traynard. 



Voici un exemple où la méthode précédente conduit à une surface du 

 quatrième ordre à huit points doubles. Soient /, k, D trois entiers tels que 



Il existe quatre fonctions <^(u, ç) d'indices 2/, 2k de caractéristique non 

 nulle, de parité donnée, linéairement distinctes, et elles s'annulent toutes 

 pour huit demi-périodes P,. La surface S pour laquelle les coordonnées 

 homogènes d'un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est du 

 quatrième ordre; elle possède huit droites D,, correspondant aux demi- 

 périodes P,, et huit points doubles correspondant aux huit autres demi- 

 périodes. 



