SÉANCE DU 2 AVRIL I906. 827 



réduit à m forces ne se trouvant pas dans un même Ea;;,.^ et que le système 

 de forces le plus général en Ej,,, se comporte comme le système de forces 

 le plus général d'un E2,„_, déterminé compris dans cet Ea,„. 



Dans une petite Note qui va paraître, nous nous sommes occupé du cas 

 particulier « = 4 ; l'i nous déiluisions par l'analyse : 



1° L'équation de l'espace à trois dimensions contenant les deux résul- 

 ta n tes ; 



2° Le volume constant du tétraèdre dont ces deux résultantes forment 

 deux arêtes opposées (théorème de Chasles); 



3" fjes équations du système focal correspondant (théorème de Mœbius). 



Ici nous ferons connaître l'extension de ces résultats à l'espace E3,„, 

 ceux de l'espace Eo,„_, y étant compris; nous nous proposons d'en publier 

 ailleurs la démonstration. 



Soit 0(X,, Xo, ..., ^2m) un système d'axes coordonnés rectangulaires 

 de l'espace E.,,n qui porte le système donne de forces. Remplaçons chaque 

 force F'-^' de ce système par ses composantes F'/' dirigées suivant les axes 

 OX„ et transportons ces composantes en O à l'aide de couples aux moments 

 F/'^/' — F'/' a;/* situés dans les plans X^OX^. Représentons par R^. les 



/' /' 



résultantes ^F^^' et par {g, h) les couples ^{V\{'' x'^' —¥^p x){^), p indi- 



diquantle nombre des forces du système. Alors on a la relation 



(g-, /i) = — (A, -). 



Considérons le produit (i , 2) (3, 4) (5, <J)- • (aw — i, 'im) et formons- 

 en la somme S = V (i, 2)(3, 4) (5. *j)- • • (^w — i, 2m), où chacune des 



{■un — I ) 



^^^1 —p expressions sous le signe ^ contient tous les nombres i, 2, 



3, . . ., ±711, et où l'on fait attention au signe, en ne passant de l'expression 

 modèle aux autres expressions analogues qu'à l'aide d'un changement de 

 l'ordre des nombres en des couples de facteurs, y permutant cycliquement 

 trois des quatre nombres, le quatrième ne bougeant pas. 



Représentons de plus par (^g, li)y~—r: 1* somme des expressions de S 



contenant le facteui- (g, h), par ig, h) (i, k)- / "^ . . , , la soniine des 



expressions de S contenant les deux facteuis (g, /«), («', k) à la fois. 



