SÉANCE DU 2 AVRIL 1906. 82( 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondions hypertranscendantes. 

 Note de M. Edmond Maillet, présentée par M. Jordan. 



J'appelle yb/zcZfo/j hypertranscendante (' ) v de x une fonction y qui ne 

 satisfait formellement à aucune équation différentielle rationnelle 



/(,r, v,.v', ...,y'') = o 



dont le premier membre est un polynôme en x, y, y', . . . , j'-*'. 



J'ai obtenu au sujet des fonctions hypertranscendantes le théorème 

 suivant, qui présente de grandes analogies avec un théorème analogue de 

 Liouville relatif aux nombres transcendants et qui a des conséquences de 

 même natui-e : 



Soit E(^) une fonction non rationnelle donnée, quotient de deux séries de 

 Maclaurin ( -) 



(0 ^^=(2^--'" (2 



f — P O"' I — !> O' 



des f raclions rationnelles, fonctions réelles ou imaginaires de x, en nombre 

 infini, ayant des valeurs distincles; par hypothèse, \ — I„ est, pour x infini- 

 ment peltt, un infiniment petit d'ordre a„ C) toujours croissant avec n, et les 

 '*nt Q« sont des polynômes en x de degrés respectifs />„, q„ dont l'un au moins 

 croît indéfiniment avec n. 



1° Lorsque ^ est solution formelle d'une équation différentielle rationnelle 

 donnée f{x, y, y', . . . , y''') = o, d'ordre k, sans satisfaire fommllement à une 

 équation différentielle rationnelle d'ordre k et de degré moindre en y-, ou 

 d'ordre moindre que k, on a, dés que n est assez grand, 



(2) |ï_I^^|>l^|>.'(|+/'„-y„) 



(') Ce sont les fondions que M. Moore appelle transceiideiUally-transcendental. 



(-) Ces séries sont convergentes ou divergentes; une d'elles peut se réduire à un 

 polynôme. 



(') Ceci veut dire que ç — I„ est égal fonnelleinent à une série de Maclaurin dont 

 le terme de degré le moins élevé en x est en .^-^n ; une remarque analogue s'applique 

 à (2). 



