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pour X infiniment pelil (l' est positif et ne dépend que de k et des paramètres 

 def). 



2° Lorsque 



(3) |i- f„|<ia-|«<'-^^"+ï"', 



si grand que soit le nombre fixe arbitraire positif a, dès que n est assez grand, 

 c, est une fonction hypertranscendante . 



Ceci ne suppose rien sur la nature arithmétique des coefficients c„,, d,„, ni 

 sur la convergence ou la divergence des séries. 



Dans le secoml cas [formule (3)], soit E' une autre fonction analogue 

 à ^, limite d'une suite de fractions !'„, telle que /?^, = ^„/9„, q'n=^ l„q„ ou 

 p\^ = k„q„, q[, = InPm avec X-„, 4 limités supérieurement et inférieurement, 

 quel que soit n. De plus 



|E'-i;j<|.r|«''-^i-*»), 



dès que n est assez grand : ^ et ^' sont dites correspondantes ; deux fonctions 

 qui correspondent à une même troisième se correspondent entre elles. 



Soit E, l'ensemble des fonctions correspondant à ^ et des fractions ration- 

 nelles : E, comprend les dérivées des fonctions de E,. Toute fonction 

 rationnelle de x et des fonctions de E, appartient à E,. 



Exemple d'ensemble E, : fonctions correspondant à 



i=(ya„^.v-A(y.K^i--'" 



où 



}„ = ( "V a,„x''." I ( V/;,„ r''« \ , liniCT^^, rj-^ = ao pour m = oo 



^'m = Sm^n'< o m !> o ^1 limité supéricurenieii l et inférieurement. 



On peut d'adleurs considérer des ensembles E plus particuliers que E,, 

 et ayant des propriétés semblables, en imposant aux fonctions considérées 

 des conditions complémentaires : i°les séries numérateur et dénominateur 

 sont convergentes et ont un rayon de convergence îip; 2° leurs coefficients 

 sont rationnels; 3" ce sont des fonctions entières ; etc. 



