862 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ, relativement à }^, P et D se présentent sous la forme de séries entières 

 en \ convergentes pour toute valeur de >.. Les racines de l'équation 



D(X) = o 



donnent les valeurs singulières de 1, pour lesquelles l'équation (i) a une 

 ou plusieurs solutions (non nulles) quand on met zéro dans le second 

 membre, et M. Fredliolm a fait une étude approfondie de cette équation 

 sans second membre. 



Le cas où la fonction /(x,s) deviendrait infinie entre les limites de 

 l'intégration (l'intégrale avant bien entendu un sens) a fait l'objet, dans un 

 cas particulier, des recherches de M. Hilbert (') [qui a de plus donné de 

 très importants développements en séries se rapportant à l'équation (i)] et, 

 dans un cas plus général, des études de M. Plemelj (-). 



On peut aussi considérer le cas d'une équation analogue à l'équation (i) 

 de la forme 



(2) ?(^. r) + \JJ'f{x,y; u, v)o(u, ^')duch' = '^{x,y), 



fel '\i étant des fonctions données, el l'intégrale double étant étendue à une 

 aire donnée du plan (u, t^). Cette généralisation est immédiate. 



2. Venant d'étudier ces questions dans mon cours, je me propose sim- 

 plement ici de faire quelques remarques et d'indiquer deux problèmes de 

 Physique mathématique se rattachant à des équations du type de l'équa- 

 tion (2 ). 



Tout d'abord, les problèmes tant intérieurs qu'extérieurs (dans l'espace 

 à trois dimensions) relatifs aux fonctions harmoniques, quand on se donne 

 soit la fonction, soit la dérivée dans le sens de la normale, se ramènent 

 aux deux équations que nous allons indiquer. Désignons par S une surface 

 fermée, et soit m un point de la surface ; appelons de plus r la distance de m 

 à l'élément variable da de S, et cp l'angle que fait r avec la normale (inté- 

 rieure) à S en de, tandis t[ue i]> désignera l'angle tie /avec la normale (inté- 

 rieure) en ?n. Nous avons ici à considérer les équations fonctionnelles, 



(') D. Hilbert, Nachrichlen dcr K. Gesellscli<ift der Wissenschafteii zu Gôt- 

 lingeh, 1904 et igoS. 



(") J. r^LEMCiJ. MonaL.iliefic fiir MalhcmuLik uiid /'hysiA, XV. Jahrg. 



( 



I 



