SÉANCE DU 9 AVRIL 1906. S6<) 



Si les équations (i) font correspondre à un élément (E') une multiplicité 

 de Qo""' éléments (E) unis, les surfaces (S') transformées des surfaces (S) 

 sont les intégrales d'un système d'équations aux dérivées partielles du 

 second ordre analogue à (s). On voit ainsi que, sous certaines conditions, 

 les équations(i) définissent une transformation desintégrales d'un système 

 d'équations aux dérivées [jartitlles du second ordre en les intégrales d'un 

 autre système semblable, ces intégrales se correspondant une à une. 



Considérons spécialement le cas de l'espace à trois dimensions (n := 2), 

 « ne peut prendre que les valeurs un ou deux. Lorsque x est égal à l'unité, 

 les équations (i) iléfinissent une transformation de Backlund de première 

 espèce. Lorsque x est égal à deux, les équations données, que Ton peut 

 écrire (') 



(3)[ "^ ^•^'^■^''^'*'' '''^' ^^' .■'''=/^ <**■'. ■*'•='/'' y)' ='=/('^.r' ^'i». 7). 



I /''=?.(^.V. -./-', y). '/'—<?;(-v^ Y, :■,/}, q), 



font correspondre à un élément (E) un élément (E'), et réciproquement; 

 elles font également correspondre, en général, aux intégrales d'un certain 

 système de deux équations aux dérivées partielles du second ordre 



(4) 



j r + m(x,y, :.,p,q')s + M{œ,y, z,p,q) = o, 

 \ s -\~ m(.v,v, z, p, q)t -I- N {■x,Y, :■, p, q) — o, 



celles d'un autre système 



(5) 



j r -^r m\x' , y' , z' , p , q')s' -h .M'(^'', /, :■', p', q') = o, 

 1 s' -+- m'(,T',y\ z, p', q')t' + N'(a;', y', :', //, q') = o. 



Si l'un de ces systèmes est composé de deux équations en involution, il 

 en est de même de l'autre. On démontre facilement dans ce cas l'existence 

 de transformations de contact permettant de passer des équations (4) aux 

 équations (5), mais la transformation (3) constitue un exemple intéressant 

 de transformations qui ne s'appliquent qu'aux surfaces intégrales d'un 

 système d'équations aux dérivées partielles et qui remplacent deux sur- 

 faces tangentes par deux surfaces également tangentes (^). Il est d'ailleurs 

 aisé de voir que l'on peut appliquer de telles transformations à un système 

 quelconque de la forme (4). 



(') Dans ce qui suil j'emploie les notations de Monge. 



(') M. Bâcklund a consacré à l'étude de ces transformations des Mémoires inté- 

 ressants publiés dans \e.s' Mathemalisclie Annalen. 



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