SÉANCE DU 23 AVRIL 1906. 949 



hypercomplexes à »i unités, les unités étant les matrices Aj, Ao A,„. 



De cette manière on peut associer à tout groupe donné G de transformations 

 linéaires et homogènes à n variables avec r paramètres essentiels un système 

 de nombres hypercomplexes à m unités, et, par conséquent, aussi un 

 groupe simplement transitif T de transformations linéaires et homogènes à 

 m\r ■^m^rî^) variables, à savoir le groupe de ce système de nombres 

 hypercomplexes ; et la solution de certains problèmes relatifs au groupe G 

 peut être réduite à la solution des problèmes correspondants relatifs au 

 système de nombres hypercomplexes ou l)ien au groupe T. En particulier, 

 j'ai trouvé que le groupe G est complètement réductil)le chaque fois que le 

 groupe r est complètement réductible, et vice versa (i). 



Soit maintenant A = ^"'=1 «» A; un nombre quelconque du système 



(A., A„ ..., A,„), 

 et posons (voir mon Mémoire Transact. American mat. Society, t. V) 



Alors la condition nécessaire et suffisante pour que le groupe V, et par 

 conséquent aussi le groupe G, soit complètement réductible consiste dans 

 l'inégalité 



^(A,, Aj, . .., A„,) 



SA\ SA, A, ... SA,A„ 



SA, A, SA! ... SA.,A„ 



SA„,A, SA,,, A, ... SA;,, 



r^ 0. 



Quand m = n\ le système (Aj, A,, ..., A,„) est équivalent à un quadrate 

 dans la terminologie de Benjamin Peirce, et pour un tel système on a tou- 

 jours A F^ o, ce qui est d'accord avec un théorème de M. Burnside [Math. 

 Society London, série 2, vol. 111). 



L'équation A = reste invariable quand on substitue pour (A,, Ao, ..., A,„) 

 m fonctions linéaires quelconques de ces lettres, pourvu que ces fonctions 

 soient linéairement indépendantes. Car si 



U; = 2;'=ir,,A, {i = \,2,...,m), 



(1) Je regarde avec M. A. Lœwy (Transactions oj'the American mathematical Society, vol. 1\ , 

 p. 506) un groupe irréductible G comme un cas spécial d'un groupe complètement réductible, de 

 sorte que le groupe r est toujours réductible, tandis que le groupe G peut être réductible ou 

 irréductiblf. 



